DSE 數學公式表
整理 HKDSE 數學必修部分每個課題的重要公式。點擊課題名稱，可查看完整筆記、例題及練習題。
幾何與三角學
直線方程
斜率公式
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)點斜式
y − y₁ = m(x − x₁)兩點式
(y − y₁) / (x − x₁) = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)斜截式
y = mx + c截距式
x/a + y/b = 1（x 截距 a、y 截距 b）一般式
Ax + By + C = 0：斜率 −A/B，y 截距 −C/B，x 截距 −C/A平行／垂直
m₁ = m₂／m₁ × m₂ = −1點至直線距離
完整筆記及例題 →|Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)圓的基本性質
1. 弦與弧• 從圓心至弦的垂直線平分該弦。
• 等弦與圓心等距。
• 等弦與圓心等距。
2. 角度與圓弧• 圓心角等於圓周角的兩倍。
• 同弧所對的圓周角相等。
• 半圓上的圓周角為 90°。
• 同弧所對的圓周角相等。
• 半圓上的圓周角為 90°。
3. 圓內接四邊形• 圓內接四邊形的對角和為 180°。
• 圓內接四邊形的外角等於內對角。
• 圓內接四邊形的外角等於內對角。
4. 切線基本性質• 切線垂直於接觸點的半徑。
• 從外點引出的兩切線長度相等。
• 從外點引出的兩切線長度相等。
5. 交錯弓形切線與弦之間的夾角等於該弦在交錯弓形內所對的圓周角。
完整筆記及例題 →三角形的四心
1. 形心中線（頂點至對邊中點）
將每條中線以
將每條中線以
2:1 的比例分割（從頂點至底邊）。2. 內心角平分線
至三邊等距。內切圓的圓心。
至三邊等距。內切圓的圓心。
3. 外心垂直平分線
至三個頂點等距。外接圓的圓心。
至三個頂點等距。外接圓的圓心。
4. 垂心高線（從頂點引出的垂直線）
這些線在對邊上以直角相交。
完整筆記及例題 →這些線在對邊上以直角相交。
圓的方程
標準式
(x − h)² + (y − k)² = r²，圓心 (h, k)，半徑 r一般式
x² + y² + Dx + Ey + F = 0圓心公式
(−D/2, −E/2)半徑公式
r = √((D/2)² + (E/2)² − F) = ½√(D² + E² − 4F)直徑式直徑端點
(x₁, y₁)、(x₂, y₂)：(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0切線判斷圓心至直線的距離
完整筆記及例題 →= r（小於 r：兩個交點；大於 r：沒有交點）軌跡
距離公式
PA = √((x − x₁)² + (y − y₁)²)：用它寫出條件，再兩邊平方與 A、B 兩點等距
PA = PB ⟹ AB 的垂直平分線與
C(h, k) 保持距離 r(x − h)² + (y − k)² = r²（圓）與直線
Ax + By + C = 0 保持距離 d|Ax + By + C| / √(A² + B²) = d（一對平行線）點至直線距離
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)與兩條相交直線等距
完整筆記及例題 →|A₁x + B₁y + C₁| / √(A₁² + B₁²) = |A₂x + B₂y + C₂| / √(A₂² + B₂²)（一對角平分線）更多關於三角學
正弦公式
a / sin A = b / sin B = c / sin C餘弦公式（求邊）
a² = b² + c² − 2bc cos A餘弦公式（求角）
cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)三角形面積
½ab sin C；希羅公式 √(s(s − a)(s − b)(s − c))，s = (a + b + c)/2恆等式
sin²θ + cos²θ = 1，tan θ = sin θ / cos θ鈍角
sin(180° − θ) = sin θ，cos(180° − θ) = −cos θ方位角真方位角：由北方順時針量度，例如
完整筆記及例題 →030°；羅盤方位角：例如 N30°E3D 三角學
立體畢氏定理（長方體對角線）
d = √(a² + b² + c²)線與面的夾角
tan θ = 線上一點離平面的高度 ÷ 投影的長度面與面的夾角在兩個平面上各畫一條垂直於相交線、並交於同一點的直線，兩線的夾角即所求
線段的投影投影長度
= L cos θ正弦公式
a / sin A = b / sin B = c / sin C餘弦公式
a² = b² + c² − 2bc cos A三角形面積
完整筆記及例題 →½ab sin C函數與圖像
函數與圖像
1. 二次函數頂點式：
• 頂點：
• 對稱軸：
• Y 軸截距：設
y = a(x − h)² + k• 頂點：
(h, k)• 對稱軸：
x = h• Y 軸截距：設
x = 02. 指數函數
（其中
• 通過
• 水平漸近線：
• 恆為正數（
y = aˣ（其中
a > 0 且 a ≠ 1）• 通過
(0, 1)。• 水平漸近線：
y = 0• 恆為正數（
y > 0）。3. 對數函數
（其中
• 通過
• 垂直漸近線：
• 定義域：
y = logₐ x（其中
x > 0 且 a ≠ 1）• 通過
(1, 0)。• 垂直漸近線：
x = 0• 定義域：
x > 0。4. 圖像平移• 垂直：
• 水平：
y = f(x) ± k• 水平：
y = f(x ∓ h)5. 反射與拉伸• 反射：
• 拉伸：
完整筆記及例題 →−f(x) 或 f(−x)• 拉伸：
a · f(x) 或 f(kx)指數及對數函數
1. 對數定律• 積：
• 商：
• 冪：
• 恆等：
logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y• 商：
logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y• 冪：
logₐ(xⁿ) = n logₐ x• 恆等：
logₐ a = 1 及 logₐ 1 = 02. 換底公式
logₐ b = log_c b / log_c a = log b / log a3. 指數方程• 相同底數：
• 不同底數：對兩邊取對數：
aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⟹ f(x) = g(x)• 不同底數：對兩邊取對數：
aˣ = b ⟹ x log a = log b ⟹ x = log b / log a4. 對數方程1. 濃縮兩邊：
2. 轉換為指數：
logₐ f(x) = logₐ g(x) ⟹ f(x) = g(x)2. 轉換為指數：
logₐ f(x) = y ⟹ f(x) = aʸ5. 反函數圖像• 指數：
• 對數：
完整筆記及例題 →y = aˣ（通過 (0, 1)，漸近線 y = 0）• 對數：
y = logₐ x（通過 (1, 0)，漸近線 x = 0）更多關於函數圖像
1. 圖像解方程要解
找出以下兩者的交點：
• 曲線：
• 水平線：
f(x) = k：找出以下兩者的交點：
• 曲線：
y = f(x)• 水平線：
y = k2. 圖像解不等式要解
• 對於
• 對於
f(x) > k 或 f(x) < k：• 對於
> k：找出曲線在水平線 y = k 上方的位置。• 對於
< k：找出曲線在水平線 y = k 下方的位置。3. 圖像平移• 垂直：
• 水平：
y = f(x) ± k• 水平：
y = f(x ∓ h)4. 圖像反射• X 軸：
• Y 軸：
y = −f(x)• Y 軸：
y = f(−x)5. 圖像拉伸及壓縮• 垂直：
• 水平：
完整筆記及例題 →y = a · f(x)• 水平：
y = f(kx)代數
一元二次方程
1. 判別式 Δ
• Δ > 0：2 個相異實根
• Δ = 0：1 個重複實根
• Δ < 0：無實根
Δ = b² − 4ac• Δ > 0：2 個相異實根
• Δ = 0：1 個重複實根
• Δ < 0：無實根
2. 根之和與根之積對於
• 和（S）：
• 積（P）：
ax² + bx + c = 0，根為 α, β：• 和（S）：
α + β = −b / a• 積（P）：
αβ = c / a3. 建立新二次方程要建立根為 α′ 及 β′ 的二次方程：
1. 計算新根之和：
2. 計算新根之積：
3. 方程：
1. 計算新根之和：
S′ = α′ + β′2. 計算新根之積：
P′ = α′β′3. 方程：
x² − S′x + P′ = 04. 二次不等式對於
• 若
• 若
完整筆記及例題 →x² + bx + c ≥ 0 或 ≤ 0，根為 r₁ < r₂：• 若
≥ 0：外側範圍（x ≤ r₁ 或 x ≥ r₂）• 若
≤ 0：內側範圍（r₁ ≤ x ≤ r₂）更多關於多項式
1. 餘式定理當 f(x) 除以
ax − b 時，餘式 R 為：R = f(b/a)2. 因式定理
(ax − b) 是 f(x) 的因式若且僅若：f(b/a) = 03. 因式分解三次式分解
1. 猜一個根 r 使
2. 將 f(x) 除以
3. 進一步分解二次項。
Ax³ + Bx² + Cx + D：1. 猜一個根 r 使
f(r) = 0（試 ±1, ±2）。2. 將 f(x) 除以
x − r 得二次商式。3. 進一步分解二次項。
4. HCF 及 LCM1. 先將每個多項式完全因式分解。
• HCF：共同因式的最低次冪乘積。
• LCM：所有因式的最高次冪乘積。
• HCF：共同因式的最低次冪乘積。
• LCM：所有因式的最高次冪乘積。
5. 解多項式方程解
1. 將 f(x) 完全因式分解。
2. 設每個因式等於 0 並解 x。
完整筆記及例題 →f(x) = 0：1. 將 f(x) 完全因式分解。
2. 設每個因式等於 0 並解 x。
更多關於方程
1. 聯立一次及二次方程將 y（或 x）設為線性方程的主項，並代入二次方程：
ax² + bx + c = 02. 分式方程將整條方程乘以分母的 LCM 以清除分數。
3. 指數方程設
u = aˣ 以轉換：p(a²ˣ) + q(aˣ) + r = 0 ⟹ pu² + qu + r = 04. 對數方程先用定律濃縮對數項：
若
log M + log N = log(MN)若
log M = log N ⟹ M = N5. 三角方程設
完整筆記及例題 →u = sin θ（或 cos θ）以轉換：pu² + qu + r = 0不等式及線性規劃
1. 一次及聯立不等式• 一般式：
• 且（AND / ∩）：數線上的重疊區域。
• 或（OR / ∪）：兩個區域的聯集。
ax > b• 且（AND / ∩）：數線上的重疊區域。
• 或（OR / ∪）：兩個區域的聯集。
2. 二次不等式對於
• 若
• 若
x² + bx + c > 0 或 < 0，根為 r₁ < r₂：• 若
> 0：外側範圍（x < r₁ 或 x > r₂）• 若
< 0：內側範圍（r₁ < x < r₂）3. 二元一次不等式
Ax + By ≤ C 或 Ax + By > C4. 可行區域由多個二元一次不等式系統所形成的重疊陰影區域。
5. 線性規劃最優化（最大化或最小化）目標函數：
完整筆記及例題 →P = ax + by等差及等比數列
1. 等差數列（AP）一般項：
（a = 首項，d = 公差）
Tₙ = a + (n − 1)d（a = 首項，d = 公差）
2. 等比數列（GP）一般項：
（a = 首項，r = 公比）
Tₙ = arⁿ⁻¹（a = 首項，r = 公比）
3. 無限項之和（僅 GP）公式：
完整筆記及例題 →S∞ = a / (1 − r)變分
1. 正變
y ∝ xⁿy = kxⁿ2. 反變
y ∝ 1/xⁿy = k/xⁿ ⟺ yxⁿ = k3. 聯變
• 正變及反變組合：
y ∝ xᵐzⁿ• 正變及反變組合：
y ∝ x/z²y = kxᵐzⁿy = kx/z²4. 部分變• 部分常數及部分隨 x 正變：
• 線性-常數：
• 兩個變量：
y = 常數 + 隨 x 正變的部分• 線性-常數：
y = k₁ + k₂x• 兩個變量：
y = k₁x + k₂z²5. 百分比變化代入變更後的值，比較 y新 與 y舊。
完整筆記及例題 →統計與概率
離散程度的度量
1. 極差
極差 = 最大值 − 最小值2. 四分位距（IQR）
（Q₁ = 下四分位數，Q₃ = 上四分位數）
IQR = Q₃ − Q₁（Q₁ = 下四分位數，Q₃ = 上四分位數）
3. 標準差（SD）
SD (σ) = √(方差)4. 盒鬚圖可視化五數摘要：
最小值, Q₁, 中位數, Q₃, 最大值5. 數據變換若每個數據點
• 平均數／中位數／眾數：乘以 a，加上 b。
• 極差／IQR／標準差：乘以 |a|（加上 b 沒有影響！）
• 方差：乘以 a²。
完整筆記及例題 →xᵢ → a · xᵢ + b：• 平均數／中位數／眾數：乘以 a，加上 b。
• 極差／IQR／標準差：乘以 |a|（加上 b 沒有影響！）
• 方差：乘以 a²。
排列與組合
1. 排列
P(n, r) = n! / (n − r)!2. 組合
C(n, r) = n! / [r!(n − r)!]3. 相鄰限制• 必須相鄰
• 不能相鄰
• 不能相鄰
4.「至少」的選取• 至少一個…
• 至少兩個…
• 至少兩個…
5. 圓形排列
完整筆記及例題 →(n − 1)!更多關於概率
1. 加法公式
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)2. 條件概率
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)3. 事件獨立性A 與 B 為獨立若且僅若：
（等同於
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)（等同於
P(A | B) = P(A)）4. 樹形圖• 沿分支（AND）：相乘。
• 跨分支（OR）：相加。
• 跨分支（OR）：相加。
5. 排列組合概率
完整筆記及例題 →P(事件) = 有利的 C(n,r) 或 P(n,r) / 總 C(n,r) 或 P(n,r)記得公式但不懂用？
用 SketchMath AI 逐步解題