等差及等比數列
掌握等差及等比公式，求一般項（Tₙ）及 n 項之和（Sₙ），並征服無限項之和（S∞）的收斂約束。
1. 核心概念
數字的規律：數列是一個有序的數字列表。在等差數列（AP）中，你加上一個常數公差（d）以獲得下一項。在等比數列（GP）中，你乘以一個常數公比（r）以獲得下一項。
2. DSE 等差及等比數列 公式速查表 — 3 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 等差數列（AP） | 一般項：Tₙ = a + (n − 1)d（a = 首項，d = 公差） | n 項之和： • 一般： Sₙ = (n/2)[2a + (n − 1)d]• 若已知末項 l： Sₙ = (n/2)(a + l)AP 測試： Tₙ − Tₙ₋₁ = d |
| 2. 等比數列（GP） | 一般項：Tₙ = arⁿ⁻¹（a = 首項，r = 公比） | n 項之和： • 若 r < 1： Sₙ = a(1 − rⁿ) / (1 − r)• 若 r > 1： Sₙ = a(rⁿ − 1) / (r − 1)GP 測試： Tₙ / Tₙ₋₁ = r |
| 3. 無限項之和（僅 GP） | 公式：S∞ = a / (1 − r) | 收斂條件：無限項之和僅當 |r| < 1 時存在。若 r ≥ 1 或 r ≤ −1，級數發散，S∞ 不存在。 |
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️「項數（n）」整數約束由於 n 代表項的實際數量，n 必須永遠為正整數（
n ∈ ℤ⁺）。不等式陷阱：若題目要求「前 n 項之和大於 500 的最小 n」，而你的不等式得出 n > 12.3，最小有效整數為n = 13（不是 12！）。⚠️ 對數不等式符號翻轉（GP 陷阱）為 n 解 GP 不等式時，若 r 為小數（如
0.6ⁿ⁻¹ < 0.01），對兩邊取對數會翻轉不等式符號，因為 log(0.6) 是負數！(n − 1) log(0.6) < log(0.01) ⟹ n − 1 > log(0.01) / log(0.6)⚠️ 無限項之和存在性陷阱（卷二）DSE 多項選擇題喜歡問：「對於 x 的什麼取值範圍，GP 4, 4(x − 2), 4(x − 2)², … 的無限項之和存在？」捷徑：識別公比
r = x − 2。應用收斂條件 |r| < 1 ⟹ |x − 2| < 1。解絕對值三文治：−1 < x − 2 < 1 ⟹ 1 < x < 3。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(建立及解聯立一次方程)一個 AP 的第 4 項為 14，第 9 項為 34。求首項（a）及公差（d）。
(解由 Sₙ 導出的指數方程)一個 GP 的 n 項之和為 255。若首項為 1，公比為 2，求 n。
(收斂驗證及 S∞ 計算)一個 GP 的首項為 80，公比為 0.6。求其無限項之和。