圓的方程
掌握圓的標準式及一般式，找出圓心及半徑，並學習解決 DSE 圓與直線交點的最快方法。
1. 核心概念
什麼是圓方程？圓定義為所有與固定點（圓心，
(h, k)）保持恆定距離（半徑，r）的點 (x, y) 的集合。在 DSE 中，你必須能熟練地在標準式（即時顯示圓心及半徑）與一般式（需要代數公式或配方）之間切換。2. DSE 圓的方程 公式速查表 — 5 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 標準式 | (x − h)² + (y − k)² = r²• 圓心： (h, k)• 半徑：r | 注意正負號。(x + 3)² ⟹ h = −3。 |
| 2. 一般式 | x² + y² + Dx + Ey + F = 0• 圓心： (−D/2, −E/2)• 半徑： r = √(D²/4 + E²/4 − F) | 實圓條件：D² + E² − 4F > 0。若 ≤ 0，不存在實圓。 |
| 3. 直徑式 | 給定端點 A(x₁, y₁) 及 B(x₂, y₂)：(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0 | 卷二的極大時間節省工具。你無需先找中點或半徑即可寫出此方程。 |
| 4. 點與圓的位置關係 | 比較點 P 至圓心 C 的距離 d 與半徑 r： • d > r：圓外 • d = r：圓上 • d < r：圓內 | 或將 P(x₁, y₁) 代入一般式：• 結果 > 0：圓外 • 結果 = 0：圓上 • 結果 < 0：圓內 |
| 5. 直線與圓的交點 | 將 y = mx + c 代入圓方程。使用判別式（Δ = b² − 4ac）解二次方程。• Δ > 0：2 個交點 • Δ = 0：1 個交點（切線） • Δ < 0：0 個交點 | 對於切線，使用幾何捷徑：圓心至直線的垂直距離 = 半徑（d = r）。遠比解 Δ = 0 快。 |
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💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 係數檢查（x² 及 y²）若 x² 及 y² 的係數不為 1，你不能直接從一般式讀取 D、E 及 F。例：若給定
3x² + 3y² − 12x + 18y − 9 = 0，你必須先將整條方程除以 3，得到 x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0。只有這樣你才能寫出 D = −4、E = 6、F = −3。⚠️ 虛圓條件（卷二）對於任何一般式要代表一個實圓，半徑計算必須得出實數。這意味平方根內的值必須嚴格為正：
D² + E² − 4F > 0。若 D² + E² − 4F = 0，方程代表一個點。若 < 0，不存在實圓。⚠️ 幾何切線捷徑求圓的切線時，代入
y = mx + c 並解 Δ = 0 非常慢。捷徑：使用點至線距離公式計算從圓心至直線的垂直距離 d。設 d = r（距離等於半徑）。這通常比代數 Δ 方法快一倍。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(一般式轉標準式)求圓
x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0 的圓心及半徑。(二次代入法求直線與圓交點)求直線
y = 2x + 1 與圓 x² + y² = 25 的交點坐標。(點與圓的位置關係)判斷點 P
(5, −2) 位於圓 (x − 2)² + (y + 1)² = 16 的內部、圓上還是外部。