例題 1：由一般式求圓心及半徑
求圓 x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0 的圓心及半徑。
- 讀出係數：
D = −6、E = 8、F = −11。 - 圓心
= (−D/2, −E/2) = (3, −4)。 - 半徑
= √(3² + (−4)² − (−11)) = √(9 + 16 + 11) = √36 = 6。 - 用配方驗算：
(x − 3)² + (y + 4)² = 11 + 9 + 16 = 36✓
答案： 圓心 (3, −4)，半徑 6。
圓的方程（圓方程）
圓心為 (h, k)、半徑為 r 的圓的方程是 (x − h)² + (y − k)² = r²（標準式）。展開後得一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其圓心為 (−D/2, −E/2)，半徑為 √((D/2)² + (E/2)² − F)。
圓方程公式
標準式
(x − h)² + (y − k)² = r²，圓心 (h, k)，半徑 r一般式
x² + y² + Dx + Ey + F = 0圓心公式
(−D/2, −E/2)半徑公式
r = √((D/2)² + (E/2)² − F) = ½√(D² + E² − 4F)直徑式直徑端點
(x₁, y₁)、(x₂, y₂)：(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0切線判斷圓心至直線的距離
= r（小於 r：兩個交點；大於 r：沒有交點）圓的方程的一般式
把 (x − h)² + (y − k)² = r² 展開，得一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中 D = −2h、E = −2k、F = h² + k² − r²。
判斷一條方程是否代表圓，要檢查三點：x² 與 y² 的係數相同、沒有 xy 項，以及除以該係數後 D² + E² − 4F > 0。若 D² + E² − 4F = 0，方程只代表一點；若小於 0，則不存在實圓。
如何求圓心及半徑（圓心公式、半徑公式）
由標準式直接讀出：圓心 (h, k)，半徑 r。注意正負號：(x + 3)² + (y − 1)² = 25 的圓心是 (−3, 1)，半徑是 5。
由一般式：
- 先把整條方程除以 x² 及 y² 的係數，使係數變為 1。
- 圓心
= (−D/2, −E/2)。 - 半徑
= √((D/2)² + (E/2)² − F)。
亦可對 x 及 y 配方，把方程化為標準式。下面例題 1 及例題 2 示範了兩種方法。
核心概念
什麼是圓方程？圓定義為所有與固定點（圓心，
(h, k)）保持恆定距離（半徑，r）的點 (x, y) 的集合。在 DSE 中，你必須能熟練地在標準式（即時顯示圓心及半徑）與一般式（需要代數公式或配方）之間切換。DSE 圓的方程 公式速查表 — 5 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 標準式 | (x − h)² + (y − k)² = r²• 圓心： (h, k)• 半徑：r | 注意正負號。(x + 3)² ⟹ h = −3。 |
| 2. 一般式 | x² + y² + Dx + Ey + F = 0• 圓心： (−D/2, −E/2)• 半徑： r = √(D²/4 + E²/4 − F) | 實圓條件：D² + E² − 4F > 0。若 ≤ 0，不存在實圓。 |
| 3. 直徑式 | 給定端點 A(x₁, y₁) 及 B(x₂, y₂)：(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0 | 卷二的極大時間節省工具。你無需先找中點或半徑即可寫出此方程。 |
| 4. 點與圓的位置關係 | 比較點 P 至圓心 C 的距離 d 與半徑 r： • d > r：圓外 • d = r：圓上 • d < r：圓內 | 或將 P(x₁, y₁) 代入一般式：• 結果 > 0：圓外 • 結果 = 0：圓上 • 結果 < 0：圓內 |
| 5. 直線與圓的交點 | 將 y = mx + c 代入圓方程。使用判別式（Δ = b² − 4ac）解二次方程。• Δ > 0：2 個交點 • Δ = 0：1 個交點（切線） • Δ < 0：0 個交點 | 對於切線，使用幾何捷徑：圓心至直線的垂直距離 = 半徑（d = r）。遠比解 Δ = 0 快。 |
圓的方程例題詳解
例題 2：一般式化為標準式
把 2x² + 2y² + 8x − 12y − 6 = 0 化為標準式。
- x² 及 y² 的係數是 2，先把整條方程除以 2：
x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0。 - 配方：
(x² + 4x + 4) + (y² − 6y + 9) = 3 + 4 + 9。 - 即
(x + 2)² + (y − 3)² = 16。
答案： (x + 2)² + (y − 3)² = 16：圓心 (−2, 3)，半徑 4。
例題 3：由直徑求圓的方程
已知 A(1, 2) 及 B(5, −4)，求以 AB 為直徑的圓的方程。
- 用直徑式：
(x − 1)(x − 5) + (y − 2)(y + 4) = 0。 - 展開：
x² − 6x + 5 + y² + 2y − 8 = 0。 - 化簡：
x² + y² − 6x + 2y − 3 = 0。 - 驗算：圓心
(3, −1)是 AB 的中點，而r = √(9 + 1 + 3) = √13是AB = √52的一半 ✓
答案： x² + y² − 6x + 2y − 3 = 0
例題 4：切線及切點
證明直線 2x + y − 5 = 0 是圓 x² + y² = 5 的切線，並求切點。
- 圓心
(0, 0)，半徑√5。 - 圓心至直線的距離
= |2(0) + 0 − 5| / √(2² + 1²) = 5/√5 = √5，等於半徑，所以該直線是切線。 - 求切點：代入
y = 5 − 2x，得x² + (5 − 2x)² = 5，即5x² − 20x + 20 = 0，所以(x − 2)² = 0。 x = 2，y = 5 − 4 = 1。
答案： 該直線是切線，切點為 (2, 1)。
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 係數檢查（x² 及 y²）若 x² 及 y² 的係數不為 1，你不能直接從一般式讀取 D、E 及 F。例：若給定
3x² + 3y² − 12x + 18y − 9 = 0，你必須先將整條方程除以 3，得到 x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0。只有這樣你才能寫出 D = −4、E = 6、F = −3。⚠️ 虛圓條件（卷二）對於任何一般式要代表一個實圓，半徑計算必須得出實數。這意味平方根內的值必須嚴格為正：
D² + E² − 4F > 0。若 D² + E² − 4F = 0，方程代表一個點。若 < 0，不存在實圓。⚠️ 幾何切線捷徑求圓的切線時，代入
y = mx + c 並解 Δ = 0 非常慢。捷徑：使用點至線距離公式計算從圓心至直線的垂直距離 d。設 d = r（距離等於半徑）。這通常比代數 Δ 方法快一倍。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(一般式轉標準式)求圓
x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0 的圓心及半徑。(二次代入法求直線與圓交點)求直線
y = 2x + 1 與圓 x² + y² = 25 的交點坐標。(點與圓的位置關係)判斷點 P
(5, −2) 位於圓 (x − 2)² + (y + 1)² = 16 的內部、圓上還是外部。圓的方程練習題（DSE 模擬題）
SketchMath 題庫內的 DSE 風格練習，選擇題及長題目均附解答。
常見問題
對 x 及 y 分別配方。圓心 = (−D/2, −E/2)，半徑 = √(D²/4 + E²/4 − F)。要成為實圓，D² + E² − 4F 必須 > 0。若等於 0，方程代表一個點；若 < 0，不存在實圓。
給定直徑端點 A(x₁, y₁) 及 B(x₂, y₂)：(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0。這是卷二的極大時間節省工具——你無需單獨找出中點或半徑。
求該點至圓心的距離 d。與 r 比較：d > r（圓外）、d = r（圓上）、d < r（圓內）。或將該點代入一般式 x²+y²+Dx+Ey+F。結果 > 0 表示圓外，= 0 表示圓上，< 0 表示圓內。
若圓方程為一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，圓心為 (−D/2, −E/2)；若為標準式 (x − h)² + (y − k)² = r²，圓心為 (h, k)。
一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 的半徑為 r = √((D/2)² + (E/2)² − F)，即 ½√(D² + E² − 4F)。若 x² 及 y² 的係數不是 1，要先把整條方程除以該係數。
把 x 項及 y 項分組，各自配方：x² + Dx = (x + D/2)² − D²/4，y 項同理。把常數移到右方，得 (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F。
計算圓心至直線的垂直距離 d：d = r 時直線是切線；d < r 時有兩個交點；d > r 時沒有交點。代入後檢查 Δ = 0 亦可，但較慢。