直線方程
掌握斜率、截距及傾角。學習從任何線索建立直線方程，並使用聯立方程即時求解直線交點。
1. 核心概念
直線的基因：直線方程代表坐標平面上的一條幾何路徑。每條直線由兩個屬性唯一定義：它的陡峭程度（斜率，m）以及它與坐標軸的交點（截距）。在 DSE 中，你必須能根據題目提供的線索，靈活切換不同的方程形式。
2. DSE 直線方程 公式速查表 — 5 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 斜率 | m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = tan θ（θ = 傾角） | • m > 0：向右上升（0° < θ < 90°） • m < 0：向右下降（90° < θ < 180°） • m = 0：水平線 平行： m₁ = m₂垂直： m₁ × m₂ = −1 |
| 2. 斜率截距式 | y = mx + c• m = 斜率 • c = y-截距（當 x = 0） | 使用此式可即時繪製直線。 直線以陡峭度 m 通過 (0, c)。 |
| 3. 點斜式 | y − y₁ = m(x − x₁)通過已知點 (x₁, y₁)，斜率為 m。 | 你的首選公式： 若給定兩點，先求 m，然後將任一點代入此公式。 |
| 4. 一般式 | Ax + By + C = 0（A、B、C ∈ ℤ 且 A > 0） | 快速係數讀取（卷二）： • 斜率 m = −A/B• y-截距 = −C/B• x-截距 = −C/A |
| 5. 聯立方程與交點 | 聯立解 L₁: y = m₁x + c₁ 及 L₂: y = m₂x + c₂。• 1 解：相交（ m₁ ≠ m₂）• 0 解：平行（ m₁ = m₂, c₁ ≠ c₂）• ∞ 解：重合（ m₁ = m₂, c₁ = c₂） | 使用代入法或消去法。 將解出的 x 代回任一方程求 y。 |
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💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 負傾角陷阱當求負斜率直線的傾角 θ 時，計算機會返回負角度（例如
m = −1 ⟹ θ = tan⁻¹(−1) = −45°）。規則：傾角必須從正 x-軸量度（0° ≤ θ < 180°）。你必須加上 180° 以獲得正確的鈍角：θ = −45° + 180° = 135°。⚠️ 垂直斜率技巧若已知直線
3x + 4y − 12 = 0（斜率 m₁ = −3/4），任何與其垂直的直線斜率必為負倒數：m₂ = −1/m₁ = +4/3。使用此規則可即時寫出垂直線的斜率，無需計算步驟。⚠️「無定義斜率」陷阱（垂直線）水平線的斜率
m = 0（方程：y = k）。垂直線具有無定義的斜率（方程：x = h）。切勿在卷一計算步驟中寫 m = ∞；只須寫明：「由於該線為垂直線，其方程為 x = h。」⚠️ 點驗證要檢查點 P
(x₁, y₁) 是否位於直線 Ax + By + C = 0 上，將 x₁ 及 y₁ 代入左方。若結果恰好為 0，該點位於直線上。若結果不為 0，該點不在直線上。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(兩點求斜率 → 點斜式轉換)求通過 A
(1, 2) 及 B(4, 8) 的直線方程，以一般式表示。(設 y=0 及 x=0 求截距)求直線
2x + 5y − 10 = 0 的 x-截距及 y-截距。(聯立方程求交點)求直線
y = 2x + 1 與 x + y = 4 的交點。(Δ < 0)求 k 的取值範圍，使直線
y = x + k 不與圓 x² + y² − 4x = 0 相交。