軌跡是動點 P(x, y) 按指定條件移動時所走出的路徑。求軌跡方程時，設 P = (x, y)，用距離公式寫出條件，兩邊平方再化簡。在 DSE 中，答案幾乎必定是一條直線、一對直線或一個圓。
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PA = √((x − x₁)² + (y − y₁)²)：用它寫出條件，再兩邊平方PA = PB ⟹ AB 的垂直平分線C(h, k) 保持距離 r(x − h)² + (y − k)² = r²（圓）Ax + By + C = 0 保持距離 d|Ax + By + C| / √(A² + B²) = d（一對平行線）d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)|A₁x + B₁y + C₁| / √(A₁² + B₁²) = |A₂x + B₂y + C₂| / √(A₂² + B₂²)（一對角平分線）PA = PB 或 PA = 2PB；與直線的距離用 |Ax + By + C| / √(A² + B²)。|…| = |…| 拆成正、負兩種情況。Ax + By + C = 0）或一個圓形（x² + y² + Dx + Ey + F = 0）。快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 與兩點等距 A 及 B | AB 的垂直平分線 | AB 的中點 + 負倒數斜率：m垂直平分線 = −1 / mAB |
| 2. 與一點保持固定距離 r C(h, k) | 圓形 | 標準式：(x − h)² + (y − k)² = r² |
| 3. 與一直線保持固定距離 d L | 一對平行線，位於直線兩側 | 與 L 斜率相同，使用點至線距離公式計算距離。 |
| 4. 與兩條相交直線等距 | 一對角平分線 | 點至線距離方程：|A₁x + B₁y + C₁| / √(A₁² + B₁²) = |A₂x + B₂y + C₂| / √(A₂² + B₂²) |
| 5. 混合條件（乙部） | 圓形與直線的交點 | 將 y = mx + c 代入圓方程，使用判別式（Δ）求解。 |
求與 A(−2, 3) 及 B(4, 1) 等距的動點 P(x, y) 的軌跡方程。
PA² = PB²，即 (x + 2)² + (y − 3)² = (x − 4)² + (y − 1)²。x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = x² − 8x + 16 + y² − 2y + 1。12x − 4y − 4 = 0，即 3x − y − 1 = 0。(1, 2) 滿足方程，而斜率 3 是 mAB = −1/3 的負倒數 ✓答案： 3x − y − 1 = 0，即 AB 的垂直平分線。
動點 P(x, y) 與 A(1, 0) 的距離是它與 B(4, 0) 的距離的兩倍。求 P 的軌跡方程，並描述該軌跡。
PA = 2PB，所以 PA² = 4PB²。(x − 1)² + y² = 4[(x − 4)² + y²]。x² − 2x + 1 + y² = 4x² − 32x + 64 + 4y²。3x² + 3y² − 30x + 63 = 0，即 x² + y² − 10x + 21 = 0。(5, 0)，半徑 √(25 − 21) = 2。驗算：(3, 0) 時 PA = 2 = 2 × PB ✓答案： x² + y² − 10x + 21 = 0：圓心 (5, 0)、半徑 2 的圓。
求與 L₁: 3x − 4y + 1 = 0 及 L₂: 4x + 3y − 2 = 0 等距的點 P 的軌跡。
√(A² + B²) 都是 5，所以條件為 |3x − 4y + 1| = |4x + 3y − 2|。3x − 4y + 1 = 4x + 3y − 2，得 x + 7y − 3 = 0。3x − 4y + 1 = −(4x + 3y − 2)，得 7x − y − 1 = 0。−1/7 與 7 之積為 −1，兩條角平分線互相垂直 ✓答案： 一對直線 x + 7y − 3 = 0 及 7x − y − 1 = 0。
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
3x − 4y + 1 = 0 及 x + 2y − 5 = 0 等距的點 P 的軌跡。SketchMath 題庫內的 DSE 風格練習，選擇題及長題目均附解答。