圓的基本性質：定理及理由
你的終極圓形幾何定理速查表。學習發現隱藏的角度、弦和切線，並掌握在 DSE 中確保取得完整步驟分數所需的準確縮寫。
DSE 圓的定理理由寫法一覽
圓形幾何的每一步都要在括號內寫上理由，例如 ∠ABC = 50°（同弓形內的圓周角）。
| 性質 | 應寫的理由 |
|---|---|
| 由圓心至弦的垂線平分該弦 | 圓心至弦的垂線平分弦 |
| 圓心與弦中點的連線垂直於該弦 | 圓心至弦中點的連線垂直於弦 |
| 等弦與圓心的距離相等 | 等弦與圓心等距 |
| 與圓心距離相等的弦等長 | 與圓心等距的弦等長 |
| 相等的圓心角所對的弦及弧相等 | 等圓心角，對等弦／等圓心角，對等弧 |
| 弧長與圓心角成正比 | 弧與圓心角成比例 |
| 圓心角是同弧所對圓周角的兩倍 | 圓心角兩倍於圓周角 |
| 同弓形內的圓周角相等 | 同弓形內的圓周角 |
| 半圓上的圓周角是 90° | 半圓上的圓周角 |
| 圓內接四邊形的對角之和是 180° | 圓內接四邊形對角 |
| 圓內接四邊形的外角等於內對角 | 圓內接四邊形外角 |
| 切線垂直於經過切點的半徑 | 切線⊥半徑 |
| 由圓外一點引出的兩條切線等長 | 切線性質 |
| 切線與弦的夾角等於交錯弓形內的圓周角 | 交錯弓形的圓周角 |
| 證明四點共圓 | 同弓形內的圓周角的逆定理／對角互補／外角 = 內對角 |
核心概念
如何解決圓形幾何問題：圓形幾何問題就像視覺謎題。考評局通過重疊三角形、弦和切線來隱藏角度。你的目標是有系統地掃描圖形，找出三類性質：弦的性質、角的性質及切線的性質。
DSE 圓的基本性質 公式速查表 — 5 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 弦與弧 | • 從圓心至弦的垂直線平分該弦。 • 等弦與圓心等距。 | • 圓心至弦的垂線平分該弦 • 等弦與圓心等距 |
| 2. 角度與圓弧 | • 圓心角等於圓周角的兩倍。 • 同弧所對的圓周角相等。 • 半圓上的圓周角為 90°。 | • 圓心角兩倍於圓周角 • 同弓形內的圓周角 • 半圓上的圓周角 |
| 3. 圓內接四邊形 | • 圓內接四邊形的對角和為 180°。 • 圓內接四邊形的外角等於內對角。 | • 圓內接四邊形對角 • 圓內接四邊形外角 |
| 4. 切線基本性質 | • 切線垂直於接觸點的半徑。 • 從外點引出的兩切線長度相等。 | • 切線 ⟂ 半徑 • 切線性質 |
| 5. 交錯弓形 | 切線與弦之間的夾角等於該弦在交錯弓形內所對的圓周角。 | • 交錯弓形的圓周角 |
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 交錯弓形盲點交錯弓形角（∠ in alt. segment）是乙部最容易被忽略的定理。如何發現它：(1) 找出切線並定位接觸點。(2) 從該點開始追蹤弦以在圓內形成三角形。(3) 切線與弦之間的夾角等於該三角形的「對內」角。
⚠️「忘記寫理由」陷阱在卷一甲(2)/乙部，即使你的計算 100% 正確，若你沒有在每個步驟旁寫上官方幾何理由（上表的縮寫），你將損失多達 3 至 4 分。
⚠️ 秘密等腰三角形若你完全卡在圓形角度問題上，找出圓心 O 並畫線連接圓周上的頂點。由於圓的所有半徑長度相等（
OA = OB = OC = 半徑），你將立即形成等腰三角形。然後你可以使用等腰 Δ 底角來找出缺失的角度。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(畢氏定理 + 圓心至弦的垂線)在一個圓中，弦 AB 長 8 cm，半徑長 5 cm。求從圓心 O 至弦的垂直距離。
(圓內接四邊形對角 + 圓心角兩倍於圓周角)給定一個圓心為 O 的圓及圓內接四邊形 ABCD，其中 ∠ADC = 110°，求反角 ∠AOC。
(切線性質 + 多邊形內角和)從外點 T 向圓心為 O 的圓引出兩切線 TP 及 TQ。若 ∠PTQ = 50°，求 ∠OPQ。
圓的基本性質練習題（DSE 模擬題）
SketchMath 題庫內的 DSE 風格練習，選擇題及長題目均附解答。
常見問題
最常考核的三個定理：(1) 圓周角 = ½ 圓心角（∠ at centre = 2∠ at circum.），(2) 同弓形內的圓周角相等（∠s in the same segment），(3) 半圓上的圓周角 = 90°（∠ in semicircle）。切線-半徑垂直性（tangent ⟂ radius）及交錯弓形定理（∠ in alt. segment）也經常在乙部出現。
在使用每個定理時，使用上述速查表中的準確官方 DSE 縮寫。例如：「∠ABC = 50°（同弓形內的圓周角）」或「TP = TQ（切線性質）」。考評局尋找這些準確的措辭——即使最終答案正確，遺漏這些也會損失方法分。
從圓心繪製所有半徑至圓周上的相關點。這會形成等腰三角形（半徑相等）。然後尋找：圓心角、同弓形內的圓周角、圓內接四邊形及切線-弦角。將圓心與切點連接可即時形成直角（切線 ⟂ 半徑）。