三角形的四心
掌握內心、外心、形心及垂心。學習關鍵坐標捷徑及卷二速解技巧，繞過繁複計算。
1. 核心概念
什麼是四心？每個三角形都有四個不同的幾何「中心」，每個由三條不同直線（中線、角平分線、垂直平分線或高線）相交而成。要在坐標幾何題目中取得好成績，你必須熟記每個中心的構造方式及其獨特的幾何性質。
2. DSE 三角形的四心 公式速查表 — 4 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 形心 | 中線（頂點至對邊中點） 將每條中線以 2:1 的比例分割（從頂點至底邊）。 | 最容易計算：G = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3) |
| 2. 內心 | 角平分線 至三邊等距。內切圓的圓心。 | 內心至三條直線的垂直距離相等。 |
| 3. 外心 | 垂直平分線 至三個頂點等距。外接圓的圓心。 | 至三個頂點的距離相等：PA = PB = PC = r |
| 4. 垂心 | 高線（從頂點引出的垂直線） 這些線在對邊上以直角相交。 | 使用垂直斜率：m高線 × m底邊 = −1 |
互動式 三角形的四心 圖表
Centroid (形心)
Incentre (內心)
Circumcentre (外心)
Orthocentre (垂心)
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 直角三角形捷徑（卷二致勝關鍵）垂心：在任何直角三角形中，垂心恰好位於 90° 角的頂點上。你無需進行任何計算！
外心：在任何直角三角形中，外心恰好是斜邊的中點。只需對斜邊坐標應用中點公式即可。
外心：在任何直角三角形中，外心恰好是斜邊的中點。只需對斜邊坐標應用中點公式即可。
⚠️ 歐拉線對於任何非等邊三角形，垂心（H）、形心（G）及外心（O）按此順序位於同一條直線上。此外，它們始終保持比例：
HG : GO = 2 : 1。⚠️ 特殊三角形規則在等邊三角形中，所有四個中心位於完全相同的坐標點上。
在等腰三角形中，所有四個中心位於對稱軸上（共線）。
在等腰三角形中，所有四個中心位於對稱軸上（共線）。
✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(基本形心公式應用)求頂點為 A
(1, 2)、B(5, 6) 及 C(3, 8) 的三角形的形心坐標。(直角三角形斜邊中點捷徑)三角形的坐標為 P
(0, 0)、Q(6, 0) 及 R(0, 8)。求其外心的坐標。(識別位於 (2, −2) 的直角頂點以繞過繁複計算)求頂點為 A
(2, 6)、B(2, −2) 及 C(8, −2) 的三角形的垂心坐標。