三角形的四個中心是什麼？

形心（中線交點）、內心（角平分線交點）、外心（垂直平分線交點）、垂心（高線交點）。形心最容易計算，使用頂點平均公式即可。

什麼是歐拉線？為何重要？

歐拉線是穿過垂心（H）、形心（G）及外心（O）的直線，按此順序排列，且 HG:GO = 2:1。此性質在卷二多項選擇題中考核——若你知道其中兩個中心，便可用分點公式求出第三個。

直角三角形有哪些卷二捷徑？

(1) 垂心 = 90° 角的頂點。(2) 外心 = 斜邊的中點。這兩個捷徑可為每題節省 3-5 分鐘——當你可即時應用這些規則時，不要進行代數求解。

三角形的四心

掌握內心、外心、形心及垂心。學習關鍵坐標捷徑及卷二速解技巧，繞過繁複計算。

用 AI 逐步解三角形的四心題目練習 60 條 DSE 模擬題

頂點 C 左右移動，四心隨之移動。外心 O、形心 G 及垂心 H 始終共線；當三角形變成鈍角三角形時，O 及 H 會走到三角形之外。自己試試 →

互動式三角形的四心圖表

Centroid (形心)

Incentre (內心)

Circumcentre (外心)

Orthocentre (垂心)

核心概念

什麼是四心？每個三角形都有四個不同的幾何「中心」，每個由三條不同直線（中線、角平分線、垂直平分線或高線）相交而成。要在坐標幾何題目中取得好成績，你必須熟記每個中心的構造方式及其獨特的幾何性質。

DSE 三角形的四心公式速查表 — 4 個重點

快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。

考試重點	核心步驟	奪星技巧
1. 形心	中線（頂點至對邊中點）將每條中線以 `2:1` 的比例分割（從頂點至底邊）。	最容易計算： `G = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3)`
2. 內心	角平分線至三邊等距。內切圓的圓心。	內心至三條直線的垂直距離相等。
3. 外心	垂直平分線至三個頂點等距。外接圓的圓心。	至三個頂點的距離相等： `PA = PB = PC = r`
4. 垂心	高線（從頂點引出的垂直線）這些線在對邊上以直角相交。	使用垂直斜率： `m_高線 × m_底邊 = −1`

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 直角三角形捷徑（卷二致勝關鍵）垂心：在任何直角三角形中，垂心恰好位於 90° 角的頂點上。你無需進行任何計算！
外心：在任何直角三角形中，外心恰好是斜邊的中點。只需對斜邊坐標應用中點公式即可。

⚠️ 歐拉線對於任何非等邊三角形，垂心（H）、形心（G）及外心（O）按此順序位於同一條直線上。此外，它們始終保持比例：HG : GO = 2 : 1。

⚠️ 特殊三角形規則在等邊三角形中，所有四個中心位於完全相同的坐標點上。
在等腰三角形中，所有四個中心位於對稱軸上（共線）。

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(基本形心公式應用)求頂點為 A(1, 2)、B(5, 6) 及 C(3, 8) 的三角形的形心坐標。

(直角三角形斜邊中點捷徑)三角形的坐標為 P(0, 0)、Q(6, 0) 及 R(0, 8)。求其外心的坐標。

(識別位於 (2, −2) 的直角頂點以繞過繁複計算)求頂點為 A(2, 6)、B(2, −2) 及 C(8, −2) 的三角形的垂心坐標。