更多關於多項式

掌握餘式定理及因式定理，學習如何逐步因式分解三次多項式，並掌握如何完美配合考評局評分標準的答題步驟。

1. 核心概念

多項式除法的幾何意義：當你將多項式 f(x) 除以線性除式 ax − b 時，會得到商式 q(x) 及常數餘式 R。我們可將此關係寫成 f(x) = (ax − b)q(x) + R。若餘式 R 精確地為零，則 (ax − b) 能完全整除 f(x)，並被稱為一個因式。

2. DSE 更多關於多項式 公式速查表 — 5 個重點

快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。

考試重點核心步驟奪星技巧
1. 餘式定理當 f(x) 除以 ax − b 時，餘式 R 為：
R = f(b/a)		注意正負號：
• 若除以 x − 2 ⟹ R = f(2)
• 若除以 2x + 3 ⟹ R = f(−3/2)
2. 因式定理(ax − b) 是 f(x) 的因式若且僅若：
f(b/a) = 0		若 x − a 為因式，代入 x = a 並設整個表達式等於 0 以解未知係數。
3. 因式分解三次式分解 Ax³ + Bx² + Cx + D：
1. 猜一個根 r 使 f(r) = 0（試 ±1, ±2）。
2. 將 f(x) 除以 x − r 得二次商式。
3. 進一步分解二次項。		DSE 評分步驟：你必須寫出除法步驟才能在卷一取得「M 分」（方法分）。
4. HCF 及 LCM1. 先將每個多項式完全因式分解。
• HCF：共同因式的最低次冪乘積。
• LCM：所有因式的最高次冪乘積。		記得先因式分解代數恆等式，例如：
• x² − y² = (x − y)(x + y)
• x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
5. 解多項式方程解 f(x) = 0：
1. 將 f(x) 完全因式分解。
2. 設每個因式等於 0 並解 x。		檢查二次因式的判別式（Δ = b² − 4ac）。若 Δ < 0，該部分無實根。
Interactive 更多關於多項式 graph — click to explore

點擊圖表以互動方式探索 →

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 除式正負號陷阱許多學生在代入 x 值時犯下粗心的正負號錯誤。規則：在代入之前，先設除式為 0 並求解 x。例：若 f(x) 被 2x + 3 除，設 2x + 3 = 0 ⟹ x = −3/2。餘式為 f(−3/2)，而非 f(3/2)。
⚠️「完全因式分解」vs.「解方程」（DSE 評分陷阱）在卷一甲部，題目通常有兩個子部分：
(a) 將 f(x) 完全因式分解。⟹ 最終答案必須為因式的乘積。
(b) 因此，解 f(x) = 0。⟹ 最終答案必須為x 的值。
若你在 (a) 部寫出 x 的值，最終準確度步驟將得零分！
⚠️ 二次判別式檢查當你將三次式因式分解為線性及二次項時，務必檢查二次部分是否可進一步因式分解。計算其判別式：Δ = b² − 4ac。若 Δ < 0，不能在實數範圍內因式分解。

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(餘式定理求常數)當 f(x) = x³ + kx² − 2x + 3 除以 x − 2 時，餘式為 7。求 k 的值。
(因式定理 + 三次因式分解)設 f(x) = 2x³ + 5x² − x + k。已知 x + 3 是 f(x) 的因式，求 k 的值並將 f(x) 完全因式分解。
(進階 HCF/LCM 使用代數恆等式)求 x² − 5x + 6、x² − 4 及 x³ − 8 的 HCF 及 LCM。

常見問題

更多關於多項式 DSE 練習題