一元二次方程
掌握判別式、根變換恆等式及二次不等式。學習識別考評局用來篩選考生的微妙措辭陷阱。
1. 核心概念
二次方程的結構：二次方程表示為
ax² + bx + c = 0（其中 a ≠ 0）。從幾何角度來看，解此方程等同於找出拋物線 y = ax² + bx + c 與 x-軸（y = 0）相交的位置。2. DSE 一元二次方程 公式速查表 — 4 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 判別式 Δ | Δ = b² − 4ac• Δ > 0：2 個相異實根 • Δ = 0：1 個重複實根 • Δ < 0：無實根 | 檢查不等式符號： •「有實根」⟹ Δ ≥ 0•「無實根」⟹ Δ < 0 |
| 2. 根之和與根之積 | 對於 ax² + bx + c = 0，根為 α, β：• 和（S）： α + β = −b / a• 積（P）： αβ = c / a | 以 S 及 P 表示： • α² + β² = (α + β)² − 2αβ• (α − β)² = (α + β)² − 4αβ |
| 3. 建立新二次方程 | 要建立根為 α′ 及 β′ 的二次方程： 1. 計算新根之和： S′ = α′ + β′2. 計算新根之積： P′ = α′β′3. 方程： x² − S′x + P′ = 0 | 對於對稱變換（如 2α, 2β 或 α + 1, β + 1），代入回去以檢查代數。 |
| 4. 二次不等式 | 對於 x² + bx + c ≥ 0 或 ≤ 0，根為 r₁ < r₂：• 若 ≥ 0：外側範圍（x ≤ r₁ 或 x ≥ r₂）• 若 ≤ 0：內側範圍（r₁ ≤ x ≤ r₂） | 在應用「內側／外側」捷徑前，務必使 x² 係數為正。 |
點擊圖表以互動方式探索 →
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️「實根」陷阱DSE 題目經常寫道：「二次方程有實根。」許多學生寫
Δ > 0。這是不正確的，會導致失分。「有實根」包含重根的可能性，因此正確條件為：Δ ≥ 0。⚠️ 根恆等式速查表熟記這些代數變換以節省卷一甲部時間：
•
•
•
•
•
α² + β² = (α + β)² − 2αβ•
(α − β)² = (α + β)² − 4αβ•
1/α + 1/β = (α + β) / αβ•
α³ + β³ = (α + β)[(α + β)² − 3αβ]⚠️ 負二次不等式陷阱若你需要解
−x² + 3x + 10 ≥ 0，不要立即應用「外側範圍」捷徑。你必須先將整條不等式乘以−1並翻轉不等式符號：x² − 3x − 10 ≤ 0。現在因式分解找出根 −2 及 5。由於符號現在為 ≤ 0，答案為「內側」：−2 ≤ x ≤ 5。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(判別式不等式)求 k 的取值範圍，使方程
3x² − kx + 12 = 0 有兩個相異實根。(根之和／積性質及根變換)
x² − 5x + 3 = 0 的根為 α 及 β。求 α² + β² 的值，並建立一個新二次方程，其根為 2α 及 2β。(圖像不等式及因式分解二次三項式)解二次不等式
x² + 3x − 10 ≥ 0。