函數與圖像

掌握二次函數、指數函數及對數函數。學習圖像變換的精確規則，攻克卷二最棘手的圖像配對題。

1. 核心概念

如何閱讀圖像：每個函數方程 y = f(x) 代表一個幾何形狀。改變方程中的數字會使形狀變換（平移、反射或拉伸）。在 DSE 中，你必須能夠看到一個方程並立即想像出其基本形狀、截距及邊界（漸近線）。

2. DSE 函數與圖像 公式速查表 — 5 個重點

快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。

考試重點核心步驟奪星技巧
1. 二次函數頂點式：y = a(x − h)² + k
• 頂點：(h, k)
• 對稱軸：x = h
• Y 軸截距：設 x = 0		若 a > 0 ⟹ 開口向上（最小值 = k）。
若 a < 0 ⟹ 開口向下（最大值 = k）。
2. 指數函數y = aˣ
（其中 a > 0 且 a ≠ 1）
• 通過 (0, 1)。
• 水平漸近線：y = 0
• 恆為正數（y > 0）。		若 a > 1 則遞增。
若 0 < a < 1 則遞減。
3. 對數函數y = logₐ x
（其中 x > 0 且 a ≠ 1）
• 通過 (1, 0)。
• 垂直漸近線：x = 0
• 定義域：x > 0。		y = aˣ 的反函數。
兩圖沿直線 y = x 互為反射。
4. 圖像平移• 垂直：y = f(x) ± k
• 水平：y = f(x ∓ h)		• +k 向上平移；−k 向下平移。
• −h 向右平移；+h 向左平移。

對水平平移格外小心：f(x − 3) 向右平移 3 單位。
5. 反射與拉伸• 反射：−f(x) 或 f(−x)
• 拉伸：a · f(x) 或 f(kx)		• −f(x)：沿 X 軸反射。
• f(−x)：沿 Y 軸反射。
• a · f(x)：以因子 a 垂直拉伸。

對於 y = f(kx)，圖像水平壓縮 1/k 倍。

點擊圖表以互動方式探索 →

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 水平平移方向陷阱水平平移的方向與大多數學生直覺認為的完全相反。
y = f(x − 4) ⟹ 向右平移 4 單位。
y = f(x + 4) ⟹ 向左平移 4 單位。
記住：修改括號內的 x 時，「減號向右，加號向左」。
⚠️ 對數定義域陷阱（卷一）你永遠不能對負數或零取對數。在不等式或定義域問題中，對數內的表達式必須為嚴格正數：對於 y = logₐ(g(x))，你必須設定定義域條件為：g(x) > 0。
⚠️ 卷二圖像配對速解法在卷二中，你經常需要將複雜方程與四個給定圖像草圖之一配對。不要嘗試繪製整個函數。取而代之地測試極值或關鍵點：
• 設 x = 0 求 y-截距。
• 檢查 y 在 x → ∞ 或 x → −∞ 時的行為。
• 在指數圖像上畫一條 x = 1 的垂直線，便可輕易比較哪個底數較大（y = aˣ vs. y = bˣ）。

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(配方法)將 y = −2x² + 12x − 13 以頂點式表示，並寫出其頂點、對稱軸及最大值。
(指數圖像特徵)求函數 y = 3ˣ − 4 的水平漸近線及 y-截距。
(組合水平壓縮及垂直平移)已知 y = f(x) 的圖像。在同一坐標軸上繪製變換後的圖像 y = f(2x) − 1。

常見問題

函數與圖像 DSE 練習題