3D 三角學即求長方體、角柱、角錐等立體中的長度及角度。方法永遠一樣：在立體中找出一個三角形，把它畫成平面圖，再用畢氏定理、SOH-CAH-TOA、正弦公式或餘弦公式。線與面的夾角，就是該直線與其在平面上投影之間的角。
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d = √(a² + b² + c²)tan θ = 線上一點離平面的高度 ÷ 投影的長度= L cos θa / sin A = b / sin B = c / sin Ca² = b² + c² − 2bc cos A½ab sin C由直線上一點 P 向平面作垂線，垂足為 F。若直線與平面相交於 Q，則 QF 是 PQ 在平面上的投影，所求的角是 ∠PQF，而 tan ∠PQF = PF / QF。
先找出兩個平面的相交線。在相交線上取一點 X，在兩個平面上各畫一條在 X 垂直於相交線的直線，兩線的夾角就是兩平面的夾角。若求正角錐側面與底面的夾角，可用底邊的中點，見下面例題 2。
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| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 線與面之夾角 | 1. 在直線上找出點 P。 2. 從 P 向平面作垂直線，垂足為 F。 3. 連接 F 至交點 Q。 4. 目標角為 ∠PQF。 | 永遠先找「垂足」：垂直線的垂足 F 是你的投影線起點。 |
| 2. 面與面之夾角 / 二面角 | 1. 找出相交線 AB。 2. 在平面 1 上畫一條垂直於 AB 的線，交於點 X。 3. 在平面 2 上畫一條垂直於 AB 的線，交於同一點 X。 4. 目標角為這兩條線之間的夾角。 | 垂直檢查：兩條所畫直線必須在完全相同的點 X 處垂直於相交線。 |
| 3. 正投影 | 將線段「投影」到底面或平面上，就像從正上方觀看其影子。投影長度 = L cos θ（L 為原長度，θ 為與底面的夾角） | 除非 θ = 0°（平行於底面），否則投影必定短於原線段。 |
| 4. 空間中的正弦及餘弦公式 | 一旦你從立體中分離出非直角三角形，便可用 2D 規則求解缺失的邊長。 • 正弦公式： a / sin A = b / sin B = c / sin C• 餘弦公式： a² = b² + c² − 2bc cos A | 規則與 2D 完全相同。唯一挑戰是從 3D 立體中辨識正確的三角形 — 多練習分離截面。 |
| 5. 複合立體 | 這些是由多個基本立體組成的複雜形狀（例如圓柱體頂部加上圓錐體）。將複合形狀分解成較小的單獨角錐或角柱，逐步求解，然後重新組合。 | 在你的計算中繪製分解圖 — 分別標示每個子立體，逐一求解。 |
長方體 ABCDEFGH 的底面為 ABCD，其中 AB = 4 cm、BC = 3 cm，高 AE = 12 cm（E、F、G、H 分別在 A、B、C、D 的正上方）。求空間對角線 AG 的長度，以及 AG 與底面的夾角。
AC = √(4² + 3²) = 5 cm。AG = √(AC² + CG²) = √(25 + 144) = 13 cm（亦即 √(4² + 3² + 12²)）。tan ∠GAC = CG / AC = 12/5，所以 ∠GAC ≈ 67.4°。答案： AG = 13 cm；AG 與底面的夾角約為 67.4°。
正角錐 VABCD 的底面是邊長 6 cm 的正方形，高 4 cm。求平面 VBC 與底面 ABCD 的夾角。
∠VMO。OM = 6 ÷ 2 = 3 cm，VO = 4 cm。tan ∠VMO = VO / OM = 4/3，所以 ∠VMO ≈ 53.1°。答案： 約 53.1°。
s = (a + b + c) / 2面積 = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]高度 = 2 × 面積 / 底溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
3 × 4 × 5。求空間對角線與底面之間的夾角。SketchMath 題庫內的 DSE 風格練習，選擇題及長題目均附解答。