三角形的邊 a、b、c 分別對着角 A、B、C。正弦公式是 a / sin A = b / sin B = c / sin C，餘弦公式是 a² = b² + c² − 2bc cos A。已知一邊及其對角時用正弦公式；已知兩邊及夾角、或三邊時用餘弦公式。三角形面積為 ½ab sin C。
a / sin A = b / sin B = c / sin Ca² = b² + c² − 2bc cos Acos A = (b² + c² − a²) / (2bc)½ab sin C；希羅公式 √(s(s − a)(s − b)(s − c))，s = (a + b + c)/2sin²θ + cos²θ = 1，tan θ = sin θ / cos θsin(180° − θ) = sin θ，cos(180° − θ) = −cos θ030°；羅盤方位角：例如 N30°Ecos A = (b² + c² − a²) / (2bc) 求角。立體圖形的問題，例如線與面的夾角，請參閱 3D 三角學。
真方位角由北方順時針量度，以三位數表示，例如 045°。羅盤方位角由北或南開始，向東或西轉。
N30°E = 030°S40°E = 180° − 40° = 140°S25°W = 180° + 25° = 205°N70°W = 360° − 70° = 290°「A 從 B 測得的方位」是在 B 點量度。相反方向的兩個方位相差 180°。
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| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 正弦公式 | a / sin A = b / sin B = c / sin C | • AAS（2 角 1 邊） • ASA（2 角及夾邊） • SSA（2 邊及非夾角） 小心 SSA：這是唯一可能觸發「模糊情況」（2 個可能三角形）的情況。 |
| 2. 餘弦公式 | • 求邊：a² = b² + c² − 2bc cos A• 求角： cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) | • SAS（2 邊及夾角） • SSS（已知所有 3 邊） 使用角度形式檢查是否為鈍角： • 若 cos A > 0 ⟹ A 為銳角。• 若 cos A < 0 ⟹ A 為鈍角。 |
| 3. 三角形面積 | 面積 = ½ ab sin C | • SAS（2 邊及其夾角） 角 C 必須是夾在邊 a 與 b 之間的角。 |
| 4. 方位角 | • 真方位角：從北順時針量度（000° 至 360°）。 • 羅盤方位角：例如 N30°E 或 S45°W。 | 在「FROM」點繪製迷你坐標十字（北-南-東-西）。 |
在 △ABC 中，AB = 8 cm、AC = 5 cm、∠A = 60°。求 BC 及 △ABC 的面積。
BC² = 8² + 5² − 2(8)(5) cos 60°。BC² = 64 + 25 − 40 = 49，所以 BC = 7 cm。= ½ × 8 × 5 × sin 60° = 20 × (√3/2) = 10√3 ≈ 17.3 cm²。答案： BC = 7 cm；面積 = 10√3 ≈ 17.3 cm²。
一艘船由 P 沿方位 060° 航行 30 km 到 Q，再由 Q 沿方位 150° 航行 40 km 到 R。求 PR 的距離及 R 從 P 測得的方位。
060° + 180° = 240°。∠PQR = 240° − 150° = 90°。PR = √(30² + 40²) = 50 km。tan ∠QPR = 40/30，所以 ∠QPR ≈ 53.1°。R 從 P 測得的方位是 060° + 53.1° = 113.1°。答案： PR = 50 km；R 從 P 測得的方位約為 113.1°（S66.9°E）。
a < b），必須檢查模糊情況：sin B = b sin A / a ⟹ B₁B₂ = 180° − B₁A + B₂ < 180°，則存在兩個不同的三角形，兩個答案均正確！溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
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