更多關於概率

掌握條件概率、加法公式及多階段樹形圖。學習如何構建獨立的數學證明並避免代價高昂的粗心錯誤。

1. 核心概念

概率作為比率：概率的核心是比較有利結果與總結果。然而，在進階情境中，「總結果」（樣本空間）會動態變化——或因某事件已發生（條件概率），或因物件從系統中被移除（不放回）。

2. DSE 更多關於概率 公式速查表 — 5 個重點

快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。

考試重點核心步驟奪星技巧
1. 加法公式P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)• 若 A 與 B互斥：
P(A ∩ B) = 0 ⟹ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
2. 條件概率P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)• 讀作：「已知 B 已發生，A 的概率。」
• 分母縮小至僅包含事件 B 內的結果。
3. 事件獨立性A 與 B 為獨立若且僅若：
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
（等同於 P(A | B) = P(A)）		證明要求：你必須分別計算左方及右方，然後寫出它們是否相等。
4. 樹形圖• 沿分支（AND）：相乘。
• 跨分支（OR）：相加。		用於多階段選取。非常適合追蹤概率會變化的「不放回」遊戲。
5. 排列組合概率P(事件) = 有利的 C(n,r) 或 P(n,r) / 總 C(n,r) 或 P(n,r)用於抽波子、抽卡或組成委員會，其中選取次序可能重要或可能不重要。

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 條件 P(A|B) vs. 交集 P(A∩B) 陷阱分別：P(A ∩ B) 計算在整個原始組別中 A 和 B 同時發生的概率。P(A | B) 將世界限制為僅組別 B，並計算在該組別中 A 發生的概率。
⚠️ 獨立性證明陷阱（卷一步驟分）切勿僅因兩個事件在題目中「聽起來」獨立就假設它們獨立。你必須代數證明。如何寫出步驟：
• 計算 LHS = P(A ∩ B)
• 計算 RHS = P(A) × P(B)
• 比較：「由於 LHS = RHS（或 LHS ≠ RHS），事件 A 與 B 為獨立（或相依）。」
⚠️「不放回」分母遞減在多階段抽取問題中，若物件是連續不放回地抽取，你必須記住在後續分支中將分子及分母各減 1。例：從一個有 4 紅球及 6 藍球（共 10）的袋中抽取 2 個紅球：
P(兩球皆紅) = 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(分母會變化的樹形圖計算)一個袋中有 4 個紅球和 6 個藍球。連續抽取兩球且不放回。求 P(兩球皆為紅色) 及 P(至少一球為紅色)。
(加法公式、條件概率及獨立性證明步驟)已知 P(A) = 0.4、P(B) = 0.5 及 P(A ∩ B) = 0.2。求 P(A ∪ B) 及 P(A | B)。A 與 B 是否獨立？
(基於組合的概率計算)從一個有 20 名學生（12 男 8 女）的班級中選出一個 3 人委員會。求委員會中至少有 2 名女生的概率。

常見問題

更多關於概率 DSE 練習題