排列與組合

學習每次都能在 P 與 C 之間做出正確選擇。掌握相鄰限制、「至少」選擇情況及圓形排列，不再猶豫。

1. 核心概念

計數的黃金法則：從總數 n 個項目中選取 r 個時，你必須首先問：選取次序是否重要？若次序重要 ⟹ 排列 P(n, r)（如排隊、分配特定職位、製作密碼）。若次序不重要 ⟹ 組合 C(n, r)（如選擇委員會、抽波子、選擇小組）。

2. DSE 排列與組合 公式速查表 — 5 個重點

快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。

考試重點核心步驟奪星技巧
1. 排列P(n, r) = n! / (n − r)!次序重要：
• 排列
• 排隊／排成一行
• 密碼／位數

當重新排列已選項目會產生不同結果時使用。
2. 組合C(n, r) = n! / [r!(n − r)!]次序不重要：
• 選擇
• 委員會
• 小組／隊伍

當次序被捨棄時使用。注意：C(n, r) = P(n, r) / r!
3. 相鄰限制• 必須相鄰
• 不能相鄰		• 必須相鄰：使用綑綁法。將它們視為 1 個區塊，排列後乘以內部次序。
• 不能相鄰：使用插空法。先排列其他項目，然後將受限項目插入空位中。
4.「至少」的選取• 至少一個…
• 至少兩個…		使用互補法：
總情況 − 相反情況
5. 圓形排列(n − 1)!• 圓桌
• 鑰匙圈

固定一個人的位置可消除旋轉對稱性（即將 n! 除以 n）。

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 內部排列疏忽（綑綁法陷阱）使用綑綁法使項目保持在一起時，學生幾乎總是忘記乘以綑綁區塊的內部排列。例：若 3 男 4 女排成一行，3 個男孩必須站在一齊：
1. 將 3 個男孩視為 1 個區塊。你現在有 1 個區塊 + 4 個女孩 = 5 個單位排列 ⟹ 5!。
2. 你必須乘以 3 個男孩在區塊內的內部排列 ⟹ 3!。
3. 正確答案：5! × 3!（不僅是 5!）。
⚠️「至少」互補陷阱許多學生假設「至少」的互補總是「無」。這僅對「至少一個」成立。規則：若你要選擇一個 4 人委員會並要求「至少 2 名女性」，相反（互補）情況為：0 名女性及1 名女性。
提示：有時直接計算有效情況比使用互補更快更安全：情況 = (2 女 2 男) + (3 女 1 男) + (4 女 0 男)
⚠️ 固定位置的填空方法若某些位置已被鎖定，在計算其餘排列前先填滿那些位置。例：若 2 個特定男孩必須站在一行 9 人的兩端，先排列那 2 個男孩（2!），然後排列中間的其餘 7 人（7!）。總方式 = 2! × 7!。

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(固定位置限制的排列)5 個男孩和 4 個女孩排成一行。若最高的 2 個男孩必須站在行的兩端，共有多少種排列方式？
(「至少」限制情況的組合)從 7 男 5 女中選出一個 4 人委員會。若委員會必須包含至少 2 名女性，共有多少種方式？
(圓形排列基礎)6 人圍坐一張圓桌，共有多少種坐法？

常見問題

排列與組合 DSE 練習題