離散程度的度量

掌握極差、四分位距（IQR）、標準差及盒鬚圖。學習加上或乘以常數如何變換你的數據。

1. 核心概念

離散程度vs.集中趨勢：集中趨勢（平均數、中位數、眾數）告訴你數據的「中心」在哪裡，而離散程度的度量描述你的數據有多「分散」或一致。低離散程度表示數據值緊密聚集；高離散程度表示它們分散得很遠。

2. DSE 離散程度的度量 公式速查表 — 5 個重點

快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。

考試重點核心步驟奪星技巧
1. 極差極差 = 最大值 − 最小值極端異常值會嚴重影響極差。僅在分佈沒有極端值時使用。
2. 四分位距（IQR）IQR = Q₃ − Q₁
（Q₁ = 下四分位數，Q₃ = 上四分位數）		高度抗異常值。顯示數據中間50%的分佈範圍。
3. 標準差（SD）SD (σ) = √(方差)計算機捷徑：務必使用 Casio 計算機的內置SD 模式直接計算平均數（x̄）及標準差（σx）。
4. 盒鬚圖可視化五數摘要：
最小值, Q₁, 中位數, Q₃, 最大值		• IQR：讀作盒子的寬度（Q₃ − Q₁）。
• 偏度：若右鬚較長，數據為正偏。
5. 數據變換若每個數據點 xᵢ → a · xᵢ + b：
• 平均數／中位數／眾數：乘以 a，加上 b。
• 極差／IQR／標準差：乘以 |a|（加上 b 沒有影響！）
• 方差：乘以 a²。		加一個常數永遠不會改變離散程度！
乘一個常數會以乘數的絕對值改變離散程度。

點擊圖表以互動方式探索 →

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 平移不影響離散程度陷阱對每個數據點加上或減去一個常數永遠不會改變離散程度。規則：若每位學生考試加 10 分，平均數增加 10，但極差、IQR、標準差及方差保持完全一致，因為分數的分佈範圍沒有改變。
⚠️ 標準差 vs. 方差乘數若數據集中的每個值乘以 3：
• 標準差乘以3。
• 方差乘以3² = 9（因為 方差 = SD²）。
⚠️ 比較兩個分佈（DSE 必修書寫題）當被要求比較兩個分佈（如 A 班 vs. B 班），你必須寫兩句獨立的比較陳述：
1. 比較表現（平均）：比較平均數或中位數。（例如「由於 A 班的平均數較高，A 班平均表現較佳。」）
2. 比較一致性（分佈）：比較標準差或IQR。（例如「由於 B 班的 SD 較低，B 班的表現較為一致。」）

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(基本未分組數據計算)給定數據集 {12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 30}，求平均數、中位數、IQR 及標準差。
(盒鬚圖解讀)一個盒鬚圖顯示 Q₁ = 20、中位數 = 30 及 Q₃ = 45。求 IQR 並描述分佈的偏度。
(應用數據變換定律)一組測驗分數的標準差為 4.5。若從每位學生的分數中減去 5 分，然後將結果加倍，求新的標準差及新的方差。

常見問題

離散程度的度量 DSE 練習題