不等式及線性規劃
掌握複合一次不等式，解二次不等式，並學習如何構建有界可行區域，在約束條件下找出最優現實解。
1. 核心概念
約束的幾何意義：與方程給出具體數值不同，解不等式給出一個有效的範圍。從幾何角度來看，這個範圍可以在數線上表示為一個陰影區段，或在坐標平面上表示為一個有界區域（可行區域）——用於線性規劃。
2. DSE 不等式及線性規劃 公式速查表 — 5 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 一次及聯立不等式 | • 一般式：ax > b• 且（AND / ∩）：數線上的重疊區域。 • 或（OR / ∪）：兩個區域的聯集。 | 黃金法則：乘以或除以負數時必須翻轉不等式符號。 例如 −2x > 6 ⟹ x < −3繪製數線圖以找出「且」的重疊或「或」的聯集。 |
| 2. 二次不等式 | 對於 x² + bx + c > 0 或 < 0，根為 r₁ < r₂：• 若 > 0：外側範圍（x < r₁ 或 x > r₂）• 若 < 0：內側範圍（r₁ < x < r₂） | 先找出二次方程的根，然後應用「內側／外側」捷徑。 在應用捷徑前確保 x² 係數為正。 |
| 3. 二元一次不等式 | Ax + By ≤ C 或 Ax + By > C | 實線 vs. 虛線邊界： • ≤ 及 ≥ 用實線（包含邊界）。• < 及 > 用虛線（不含邊界）。取一個測試點（通常為 (0,0)）以決定在邊界線的哪一側塗上陰影。 |
| 4. 可行區域 | 由多個二元一次不等式系統所形成的重疊陰影區域。 | 繪製所有邊界線，在它們的共同交集區域塗上陰影，並識別所有角頂點。 通過解邊界線相交處的聯立方程來找出所有角頂點。 |
| 5. 線性規劃 | 最優化（最大化或最小化）目標函數：P = ax + by | 頂點定理：最優值（最大值或最小值）永遠出現在可行區域的其中一個頂點上。 將每個角頂點的坐標代入目標函數中測試，找出最大或最小值。 |
點擊圖表以互動方式探索 →
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 變號陷阱這是甲一部最常見的粗心錯誤。你僅在乘以或除以負數時才翻轉不等式符號。若只是減去或加上一個負數，不要翻轉符號！
減法（不翻轉）：
除法（必須翻轉）：
減法（不翻轉）：
x − 3 < 5 ⟹ x < 8除法（必須翻轉）：
−2x > 6 ⟹ x < −3⚠️「且」與「或」重疊規則「且」（AND）：最終解僅為數線上陰影重疊的區域。若兩個箭頭指向相反方向且不重疊，則系統無解。
「或」（OR）：最終解為至少被其中一個箭頭覆蓋的任何區域。
「或」（OR）：最終解為至少被其中一個箭頭覆蓋的任何區域。
⚠️ 線性規劃邊界線樣式此概念在卷二經常考核。包含等號（
≤, ≥）表示實線。嚴格符號（<, >）表示虛線。⚠️ 目標函數斜率（卷二捷徑）若你需要快速識別哪個頂點為最優而不測試所有 4 個點，將目標函數
將此平行斜率線在可行區域上平移，你便可直觀地看出它最後觸及哪個角頂點（最大值）或最先觸及哪個角頂點（最小值）。
P = ax + by 重新排列為斜率式：y = −(a/b)x + P/b將此平行斜率線在可行區域上平移，你便可直觀地看出它最後觸及哪個角頂點（最大值）或最先觸及哪個角頂點（最小值）。
✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(複合「且」邊界)解聯立不等式
3x − 7 < 2x + 1 及 5 − 2x ≤ 11，並在數線上表示答案。(二次「外側範圍」捷徑)解二次不等式
x² − 5x + 6 > 0。(使用頂點定理進行線性規劃最優化)繪製
x ≥ 0、y ≥ 0 及 x + y ≤ 5 的可行區域，並求目標函數 P = 3x + 2y 的最大值。