指數及對數函數
簡化複雜對數表達式，掌握指數方程，並學習為何檢查定義域是解對數方程時最重要的一步。
1. 核心概念
對數的威力：對數是指數的數學反函數。若
aʸ = x，則 y = logₐ x。在 DSE 中，你必須能使用對數基本定律來濃縮表達式並解變量被困在指數中的方程（如 aˣ = b）。2. DSE 指數及對數函數 公式速查表 — 5 個重點
快速瀏覽此精簡對照表，10 秒內重溫所有核心概念、步驟與應試技巧。
| 考試重點 | 核心步驟 | 奪星技巧 |
|---|---|---|
| 1. 對數定律 | • 積：logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y• 商： logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y• 冪： logₐ(xⁿ) = n logₐ x• 恆等： logₐ a = 1 及 logₐ 1 = 0 | 在應用任何對數定律前，務必確認底數相同。 |
| 2. 換底公式 | logₐ b = log_c b / log_c a = log b / log a | 使用此公式將任何底數轉換為底數 10，以便在計算機上計算。 |
| 3. 指數方程 | • 相同底數：aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⟹ f(x) = g(x)• 不同底數：對兩邊取對數： aˣ = b ⟹ x log a = log b ⟹ x = log b / log a | 二次方程型：代入 u = aˣ 解 pu² + qu + r = 0。 |
| 4. 對數方程 | 1. 濃縮兩邊：logₐ f(x) = logₐ g(x) ⟹ f(x) = g(x)2. 轉換為指數： logₐ f(x) = y ⟹ f(x) = aʸ | 你必須檢查答案：對數參數不能 ≤ 0。將解代回原方程以捨去增根。 |
| 5. 反函數圖像 | • 指數：y = aˣ（通過 (0, 1)，漸近線 y = 0）• 對數： y = logₐ x（通過 (1, 0)，漸近線 x = 0） | 兩圖沿對角線 y = x 互為反射。 |
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💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️「假對數定律」陷阱（極常見！）考評局刻意設計多項選擇題來欺騙那些發明不存在定律的學生。避開這些常見陷阱：
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log(a + b) ≠ log a + log b（此表達式無法進一步化簡）❌
log a / log b ≠ log(a − b)（兩個對數的商是換底，log_b a，並非減法）❌
(log a)ⁿ ≠ n log a（冪必須在引數 aⁿ 上，而非整個對數表達式）⚠️ 定義域／增根陷阱解對數方程如
log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5 時，你可能在求解後得出負的 x 值（如 x = −5）。規則：務必將解出的 x 值代回原始對數引數（括號內的表達式）。由於任何對數的定義域必須嚴格為正（x + 3 > 0 及 x − 1 > 0），任何使引數 ≤ 0 的解必須捨去。未能捨去增根將在卷一失去最終準確度分數。⚠️ 負二次代入陷阱（u = aˣ）解
a²ˣ − 5aˣ − 6 = 0 時，代入 u = aˣ 得出 u = 6 或 u = −1。由於指數曲線 y = aˣ 永遠為嚴格正數（aˣ > 0），負解 aˣ = −1無實解，必須捨去。只解 aˣ = 6 ⟹ x = log 6 / log a。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(使用積及商定律濃縮對數表達式)化簡
log₂ 48 − log₂ 3 + log₂(1/4)。(通過取對數解不同底數指數方程)解
3²ˣ⁺¹ = 7ˣ，答案準確至 3 位有效數字。(組合對數項、解二次方程及驗證定義域以捨去增根)解
log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 5。