設 y = (7x − 2x²)e⁻ˣ。(a) 求 dy/dx 及 d²y/dx²。(b) 有人聲稱該圖像有兩個拐點。你是否同意？
dy/dx = (7 − 4x)e⁻ˣ − (7x − 2x²)e⁻ˣ = (2x² − 11x + 7)e⁻ˣd²y/dx² = (4x − 11)e⁻ˣ − (2x² − 11x + 7)e⁻ˣ = (−2x² + 15x − 18)e⁻ˣd²y/dx² = −(2x − 3)(x − 6)e⁻ˣ，而 e⁻ˣ > 0x < 3/2 為負，3/2 < x < 6 為正，x > 6 為負：符號改變兩次答案： (a) (2x² − 11x + 7)e⁻ˣ 及 (−2x² + 15x − 18)e⁻ˣ；(b) 同意：在 x = 3/2 及 x = 6
P 在曲線 Γ: y = ln(x + 2)（x > 0）上移動，其 x 坐標為 h。L 為 Γ 在 P 的切線，A 為由 Γ、L 及 y 軸所圍成區域的面積。(a) 證明 A = (h² + 4h)/(2h + 4) − 2 ln(h + 2) + 2 ln 2。(b) 若 h = 3^(−t)，其中 t 為以秒計的時間，求 t = 1 時 A 的變率。
y = ln(h + 2) + (x − h)/(h + 2)；曲線向下凹，故切線在曲線之上A = ∫₀ʰ [ln(h + 2) + (x − h)/(h + 2) − ln(x + 2)] dx= h ln(h + 2) − h²/(2(h + 2)) − [(x + 2) ln(x + 2) − x]₀ʰ= h − h²/(2h + 4) − 2 ln(h + 2) + 2 ln 2 = (h² + 4h)/(2h + 4) − 2 ln(h + 2) + 2 ln 2dA/dh = (h² + 4h + 8)/(2(h + 2)²) − 2/(h + 2) = h²/(2(h + 2)²)t = 1：h = 1/3，dh/dt = −3^(−t) ln 3 = −(ln 3)/3，dA/dh = (1/9)/(2 · 49/9) = 1/98，故 dA/dt = −(ln 3)/294答案： dA/dt = −(ln 3)/294（每秒平方單位）
設 f(x) = (x² + 3x)/(x − 1)（x ≠ 1），其圖像為 H。(a) 求 H 的漸近線。(b) 求 H 的極大點及極小點。(c) 描繪 H。(d) R 是由 H 及直線 y = 10 所圍成的區域。求 R 繞直線 y = 10 旋轉所得旋轉體的體積。
x² + 3x = (x − 1)(x + 4) + 4，故 f(x) = x + 4 + 4/(x − 1)。漸近線：x = 1 及 y = x + 4f′(x) = 1 − 4/(x − 1)² = (x + 1)(x − 3)/(x − 1)²：在 x = −1 由正變負，在 x = 3 由負變正。極大點 (−1, 1)，極小點 (3, 9)x = 1 的兩側，通過 (0, 0) 及 (−3, 0)，兩端均趨近 y = x + 4f(x) = 10：x² − 7x + 10 = 0，故 x = 2 或 5。半徑 = 10 − f(x) = 6 − x − 4/(x − 1)；設 u = x − 1：V = π∫₁⁴ (5 − u − 4/u)² du(5 − u − 4/u)² = u² − 10u + 33 − 40/u + 16/u²V = π[u³/3 − 5u² + 33u − 40 ln u − 16/u]₁⁴ = π(57 − 40 ln 4)答案： (a) x = 1、y = x + 4；(b) 極大點 (−1, 1)，極小點 (3, 9)；(d) π(57 − 80 ln 2)
前面的部分已證明：設 a = BC、b = AC 及 c = AB，△ABC 的角平分線相交於點 J，其中 OJ = (a·OA + b·OB + c·OC)/(a + b + c)。現設 OA = 35i + 9j + k、OB = 40i − 3j + k 及 OC = −3j + k，I 為 △ABC 的內心。求 OI 及內切圓的半徑。
a = |BC| = 40、b = |AC| = √(35² + 12²) = 37、c = |AB| = √(5² + 12²) = 13OI = (40·OA + 37·OB + 13·OC)/90 = (2880i + 210j + 90k)/90 = 32i + (7/3)j + kr = |AI × AB|/|AB|AI = −3i − (20/3)j, AB = 5i − 12j: AI × AB = (36 + 100/3)k = (208/3)kr = (208/3)/13 = 16/3y = −3 上，而 I 在其上方 7/3 + 3 = 16/3 ✓答案： OI = 32i + (7/3)j + k；內切圓半徑 16/3
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2022 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。