例題 1：繞 x 軸旋轉的旋轉體體積
由 y = √x、x 軸及直線 x = 4 所圍成的區域繞 x 軸旋轉。求所得旋轉體的體積。
V = π∫04 y² dx = π∫04 x dx= π [x²/2]04= π × 8 = 8π
答案： 8π 立方單位
面積及旋轉體體積（DSE M2）
兩條曲線之間的面積是 ∫ab（上方 − 下方）dx。把 y = f(x) 繞 x 軸旋轉所得旋轉體的體積是 π∫ab y² dx（圓盤法）；繞 y 軸旋轉則是 π∫cd x² dy。
面積及體積公式
曲線下的面積
∫ab f(x) dx (f(x) ≥ 0)兩曲線之間的面積
∫ab [f(x) − g(x)] dx, f ≥ g繞 x 軸的體積
π∫ab y² dx繞 y 軸的體積
π∫cd x² dy繞直線
y = kπ∫ab (y − k)² dx兩曲線之間的區域繞 x 軸
π∫ab (y₁² − y₂²) dx面積及旋轉體體積例題詳解
例題 2：直線與拋物線之間的面積
求由 y = x² 及 y = x + 2 所圍成區域的面積。
- 交點：
x² = x + 2得x = −1或x = 2 - 在兩交點之間直線在拋物線之上，所以面積
= ∫−12 (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]−12 = 10/3 − (−7/6)= 9/2
答案： 9/2 平方單位
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 先平方，後相減兩條曲線之間的區域繞 x 軸旋轉時，體積是
π∫(y₁² − y₂²) dx，而不是 π∫(y₁ − y₂)² dx。旋轉體是大圓盤減去小圓盤。⚠️ 繞 y 軸須對 y 積分把曲線改寫成以
y 表示 x，並用 y 的上下限：π∫ x² dy。圓殼法不在課程範圍內，試題預期的是圓盤法。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(圓盤法)把 y = e^x 由 x = 0 至 x = 1 之下的區域繞 x 軸旋轉，求所得旋轉體的體積。
(繞 y 軸)由 y = x² 及 y = 4 所圍成的區域繞 y 軸旋轉，求旋轉體的體積。
(曲線間面積)求 y = x³ 與 y = x 在第一象限所圍成的面積。
常見問題
繞 x 軸：V = π∫ y² dx（x 的上下限之間）。繞 y 軸：V = π∫ x² dy（y 的上下限之間）。繞直線 y = k 時，把 y 換成 (y − k)。
不需要。課程說明訂明圓殼法不在要求之內；旋轉體體積是用圓盤法，繞坐標軸或與坐標軸平行的直線計算。
平面草圖只顯示旋轉前的區域。在三維圖中觀察並轉動旋轉體，便能清楚看到每片圓盤的形狀，以及公式中應使用哪個半徑。