代換法、分部積分還是三角代換？如何選擇積分方法（DSE M2）

依次問四個問題：(1) 展開或運用三角恆等式後，是否可套用基本公式？(2) 其中一個因式是否另一因式內部函數的導數？如是，用代換法。(3) 是否兩類不同函數的乘積，例如 x eˣ 或 x ln x？如是，用分部積分法。(4) 是否含有 √(a² − x²) 或 x² + a²？如是，用三角代換。

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例題 1 所計算的面積：y = x e⁻ˣ 由 0 至 2 之下的區域，1 − 3e⁻² ≈ 0.594。 自己試試 →

積分方法速查

sin² x、cos² x恆等式：sin² x = ½(1 − cos 2x)、cos² x = ½(1 + cos 2x)
sin 3x cos x積化和差：½(sin 4x + sin 2x)
f(g(x)) g′(x)代換 u = g(x)，例如 ∫ 2x cos(x²) dx
x eˣ、x sin x、x ln x、ln x分部積分：∫ u dv = uv − ∫ v du
√(a² − x²)、1/√(a² − x²)設 x = a sin θ
1/(x² + a²)設 x = a tan θ

積分：應該用哪種方法例題詳解

例題 1：定積分的分部積分

計算 ∫02 x e⁻ˣ dx。

  1. 這是代數函數與指數函數的乘積，所以用分部積分，設 u = x、dv = e⁻ˣ dx
  2. du = dx, v = −e⁻ˣ
  3. ∫02 x e⁻ˣ dx = [−x e⁻ˣ]02 + ∫02 e⁻ˣ dx
  4. = −2e⁻² + [−e⁻ˣ]02 = −2e⁻² − e⁻² + 1
  5. = 1 − 3e⁻²

答案： 1 − 3e⁻²（≈ 0.594）

例題 2：先用恆等式，而非代換

求 ∫ sin² x dx。

  1. 式中沒有 cos x 因式，代換法行不通。運用 sin² x = ½(1 − cos 2x)
  2. ∫ ½(1 − cos 2x) dx = ½x − ¼ sin 2x + C

答案： ½x − ¼ sin 2x + C

例題 3：導數已在式中，所以用代換法

求 ∫ sin² x cos x dx。

  1. cos x 是 sin x 的導數，所以設 u = sin x、du = cos x dx
  2. ∫ u² du = u³/3 + C

答案： (sin³ x)/3 + C

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 樣子相似，方法卻不同∫ sin² x dx 要用恆等式；∫ sin² x cos x dx 要用代換法；∫ x sin x dx 要用分部積分。應根據式子的結構決定方法，而不是憑它像哪一章的題目。
⚠️「由此」通常已替你決定方法在乙部，第一部分通常要求你先求某函數的導數或證明一條恆等式。下一部分的積分是要利用該結果完成的，而不是從頭計算。

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(分部積分)求 ∫ x² ln x dx。
(恆等式)求 ∫ cos² 3x dx。
(三角代換)計算 ∫ √(4 − x²) dx（由 0 至 2）。

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