例題 1：運用奇函數及偶函數
計算 ∫−22 (x³ cos x + x²) dx。
x³ cos x是奇函數（奇 × 偶），所以它在[−2, 2]上的積分為 0x²是偶函數，所以它的積分是2∫02 x² dx2 × [x³/3]02 = 2 × 8/3 = 16/3
答案： 16/3
定積分法（DSE M2）：性質、代換法及奇偶函數
定積分是和的極限，可用微積分基本定理計算：∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)。代換 u = g(x) 時，須把上下限轉換為 g(a) 及 g(b)。在 [−a, a] 上，奇函數的積分為 0，偶函數的積分等於它在 [0, a] 上積分的兩倍。
定積分的性質
微積分基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)上下限互換
∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx分割區間
∫ab = ∫ac + ∫cb奇函數
∫−aa f(x) dx = 0偶函數
∫−aa f(x) dx = 2∫0a f(x) dx分部積分
∫ab u dv = [uv]ab − ∫ab v du定積分法例題詳解
例題 2：代換並轉換上下限
計算 ∫01 x / (x² + 1) dx。
- 設
u = x² + 1，du = 2x dx - 上下限：
x = 0 → u = 1，x = 1 → u = 2 ∫12 ½ · (1/u) du = ½ [ln u]12= ½ ln 2
答案： ½ ln 2
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 新變數配舊上下限代換
u = g(x) 後，上下限必須是 u 的值。若以 u 求積分卻保留 x 的上下限，即使原函數正確，答案也會出錯。⚠️ 求積分前先看對稱性當上下限為
−a 及 a 時，應先判斷每一項是奇函數還是偶函數。試題經常放入一項看似無法積分、其實是奇函數的項，它的貢獻為 0。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(定積分的分部積分)計算 ∫ x cos x dx（由 0 至 π/2）。
(代換並轉換上下限)計算 ∫ x √(1 − x²) dx（由 0 至 1）。
(奇偶函數)計算 ∫ (x⁵ + sin x + 3) dx（由 −1 至 1）。
常見問題
不用。計算 F(b) − F(a) 時常數會互相抵消，所以定積分是一個數，沒有積分常數。
把 x 換成 −x。若 f(−x) = f(x)，是偶函數；若 f(−x) = −f(x)，是奇函數。乘積按正負號法則：奇 × 奇為偶，奇 × 偶為奇。
可以。曲線在 x 軸以下的部分，積分值為負。所以求面積時，須在 x 截距處把區域分開計算。