分部積分法中應如何選 u？

選求導後會變簡單的因式作 u。常用的優先次序是：對數、代數（x 的冪）、三角、指數。所以在 ∫ x e²ˣ dx 中取 u = x，而在 ∫ x ln x dx 中取 u = ln x。

DSE M2 中分部積分法最多用多少次？

求一個積分時最多用兩次。這是課程說明訂明的限制，所以需要用三次的積分已超出課程範圍。

不需要。你須認識 sin⁻¹x、cos⁻¹x 及 tan⁻¹x 的記號，因為三角代換的答案會出現它們，但被積函數含有它們的積分並不在要求之內。

不定積分是求導的逆運算：∫ f(x) dx = F(x) + C，其中 F′(x) = f(x)。除基本公式外，DSE M2 還要求三種技巧：代換法、分部積分法 ∫ u dv = uv − ∫ v du（最多使用兩次），以及三角代換。

例題 1 的曲線族 y = x² − x + C。每個 C 值給出一條斜率同為 2x − 1 的曲線；只有 C = 3 的一條通過 (1, 3)。自己試試 →

冪函數∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1)

倒數∫ (1/x) dx = ln|x| + C

指數函數∫ eˣ dx = eˣ + C

三角函數∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sec² x dx = tan x + C

分部積分法∫ u dv = uv − ∫ v du

√(a² − x²) 或 1/√(a² − x²)設 x = a sin θ

1/(x² + a²)設 x = a tan θ

某曲線在任意點 (x, y) 的斜率為 2x − 1，且曲線通過 (1, 3)。求該曲線的方程。

答案： y = x² − x + 3

求 ∫ x e²ˣ dx。

答案： ½x e²ˣ − ¼e²ˣ + C

求 ∫ 1/(x² + 4) dx。

答案： ½ tan⁻¹(x/2) + C

⚠️ 漏寫 + C每個不定積分都要加積分常數。這是 M2 微積分中最常見的失分位，而且它是有作用的：當曲線通過已知點時，要解的正是這個常數。

⚠️ 代換時 dx 也要換設 u = g(x) 後，必須用 du = g′(x) dx 把 dx 換掉，而最後答案要以 x 表示。同一個積分內混有 x 和 u 並不是正確的步驟。

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(分部積分法)求 ∫ x cos x dx。

(代換法)求 ∫ x √(x² + 1) dx。

(三角代換)用三角代換求 ∫ 1/√(9 − x²) dx。