例題 1：判別函數的奇偶性
判別 f(x) = x³ − x 是奇函數、偶函數，還是兩者皆非。
f(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x= −(x³ − x) = −f(x)
答案： f 是奇函數。
奇函數及偶函數（DSE M2）
若 f(−x) = f(x)，函數是偶函數（圖像關於 y 軸對稱）；若 f(−x) = −f(x)，則是奇函數（圖像關於原點對稱）。在 M2 中，本課題的重點是 [−a, a] 上的定積分：奇函數的積分為 0，偶函數的積分為 2∫0a f(x) dx。
奇偶函數：重點
偶函數
f(−x) = f(x)：例如 x²、cos x、|x|奇函數
f(−x) = −f(x)：例如 x³、sin x、tan x奇函數的積分
∫−aa f(x) dx = 0偶函數的積分
∫−aa f(x) dx = 2∫0a f(x) dx絕對值
|x| = x（x ≥ 0），−x（x < 0），是偶函數奇函數及偶函數例題詳解
例題 2：含絕對值的積分
計算 ∫−33 x|x| dx。
- 設
g(x) = x|x|，則g(−x) = (−x)|−x| = −x|x| = −g(x) g是奇函數，而上下限為−3及3
答案： 0
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 大部分函數既非奇也非偶
f(x) = x² + x 既不是奇函數，也不是偶函數。使用對稱性捷徑前，必須先計算 f(−x)，並與 f(x) 及 −f(x) 比較。⚠️ 捷徑須配對稱的上下限這些結果只適用於
∫−aa。奇函數由 −1 積分至 2 並不等於 0。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(奇 × 奇)f(x) = x sin x 是奇函數、偶函數還是兩者皆非？用圖像說明。
(分拆奇偶部分)計算 ∫ (x³ + 2x² − x) dx（由 −2 至 2）。
(絕對值圖像)描繪 y = |x − 1|，並指出它是否偶函數。
常見問題
把 x 換成 −x 再化簡。若得回 f(x)，函數是偶函數；若得 −f(x)，是奇函數；否則兩者皆非。在圖像上，偶函數關於 y 軸鏡像對稱，奇函數則關於原點旋轉對稱。
課程說明訂明這類性質並不在要求之內。實際做題時，只需以 f(−x) 逐項檢查被積函數即可。
是。|−x| = |x|，所以 y = |x| 是偶函數，其圖像是關於 y 軸對稱的 V 形。