2021 第 5 題 — 有理函數的漸近線、導數及拐點 設 r(x) = (x³ − x² − 2x + 3)/(x − 1)²（x ≠ 1）。(a) 求 y = r(x) 圖像的漸近線。(b) 求 r′(x)。(c) 有人聲稱該圖像只有一個拐點。你是否同意？
切線沿曲線右支滑動。曲線在 x = 4 之前向上凹，之後向下凹，並由漸近線 y = x + 1 的上方滑到其下方——唯一的拐點是 (4, 43/9)。 自己試試 → (a) 長除：x³ − x² − 2x + 3 = (x + 1)(x − 1)² − (x − 2)，故 r(x) = x + 1 − 1/(x − 1) + 1/(x − 1)²。漸近線：x = 1 及 y = x + 1 (b) r′(x) = 1 + 1/(x − 1)² − 2/(x − 1)³ (c) r″(x) = −2/(x − 1)³ + 6/(x − 1)⁴ = (8 − 2x)/(x − 1)⁴ r″(x) = 0 只在 x = 4，並在該處由正變負；r(4) = 5 − 1/3 + 1/9 = 43/9答案： (a) x = 1、y = x + 1；(b) 1 + 1/(x − 1)² − 2/(x − 1)³；(c) 同意：唯一的拐點是 (4, 43/9)
自己試試 → 2021 第 6 題 — y = e^(2x − 6)、其法線及鉛垂線所圍的面積 設 L 為曲線 Γ: y = e^(2x − 6) 在點 (3, 1) 的法線，c 為 L 的 x 截距。求(a) c ；(b) 由 L 、Γ 及直線 x = c 所圍成區域的面積。
急速上升的曲線（藍）與其在 (3, 1) 的法線（紅）之間的區域，由 x = 3 填至法線的 x 截距 x = 5。面積 (e⁴ − 3)/2 ≈ 25.8 幾乎全部來自最後半個單位。 自己試試 → (a) 在 x = 3，dy/dx = 2e^(2x − 6) = 2，故法線斜率為 −1/2：y − 1 = −(x − 3)/2 當 y = 0：x − 3 = 2，故 c = 5 (b) 當 3 ≤ x ≤ 5，曲線在 L 之上：面積 = ∫₃⁵ [e^(2x − 6) − 1 + (x − 3)/2] dx = [e^(2x − 6)/2 − x + (x − 3)²/4]₃⁵ = (e⁴/2 − 5 + 1) − (1/2 − 3)答案： (a) c = 5；(b) (e⁴ − 3)/2
自己試試 → 2021 第 7 題 — y = √x ln(x² + 1) 的旋轉體體積 (a) 利用分部積分法求 ∫ (ln x)² dx。(b) 考慮曲線 C: y = √x ln(x² + 1)（x ≥ 0）。由 C 、直線 x = 1 及 x 軸所圍成的區域繞 x 軸旋轉，求該旋轉體的體積。
紅色曲線 y = √x ln(x² + 1)（x 由 0 至 1）繞 x 軸旋轉，形成喇叭形的立體，在 x = 1 處張開至半徑 ln 2 ≈ 0.69。其體積為 π(1 − ln 2)² ≈ 0.296。 自己試試 → (a) ∫ (ln x)² dx = x(ln x)² − ∫ 2 ln x dx = x(ln x)² − 2x ln x + 2x + C (b) V = π∫₀¹ y² dx = π∫₀¹ x[ln(x² + 1)]² dx 設 u = x² + 1，du = 2x dx：V = (π/2)∫₁² (ln u)² du = (π/2)[u(ln u)² − 2u ln u + 2u]₁² = (π/2)[2(ln 2)² − 4 ln 2 + 4 − 2]= π[(ln 2)² − 2 ln 2 + 1]答案： (a) x(ln x)² − 2x ln x + 2x + C；(b) V = π(1 − ln 2)²
自己試試 → 2021 第 10 題 — 兩曲線間最短的鉛垂距離及變率 當 0 < x < 20，設 F 為 y = √(x² + 36) 的圖像，G 為 y = −√((20 − x)² + 16) 的圖像。P 在 F 上移動，其 x 坐標為 u ；通過 P 的鉛垂線與 G 相交於 Q 。當 u = a 時 PQ 最短。(a) 求 a 。(b) 通過 P 及 Q 的水平線分別與 y 軸相交於 R 及 S 。(i) 長方形 PQSR 的面積是否在 u = a 時最小？(ii) 若 OP 以每分鐘 28 單位增加，求 u = a 時 PQSR 周界的變率。
紅色線段 PQ 在兩條曲線之間滑動。它在 u = 12 時最短，為 10√5 ≈ 22.36，但長方形 PQSR 在該處仍在變闊，所以面積繼續增加，並非最小。 自己試試 → (a) PQ = √(u² + 36) + √((20 − u)² + 16)，故 d(PQ)/du = u/√(u² + 36) − (20 − u)/√((20 − u)² + 16) 令其為 0 並取平方：16u² = 36(20 − u)²，故 4u = 6(20 − u)，u = 12。導數在該處由負變正，故 a = 12 (b)(i) 面積 = u · PQ，故在 u = 12，d(面積)/du = PQ + u · d(PQ)/du = PQ + 0 > 0。面積仍在增加：不同意 (ii) OP = √(u² + u² + 36) = √(2u² + 36)，故 d(OP)/dt = 2u(du/dt)/√(2u² + 36)。當 u = 12：24(du/dt)/18 = 28，du/dt = 21 周界 = 2(u + PQ)，其變率為 2(1 + d(PQ)/du)(du/dt) = 2(1 + 0)(21) = 42 答案： (a) a = 12；(b)(i) 不是；(ii) 每分鐘 42 單位
自己試試 → 2021 第 12 題 — 面積、體積、點至平面的距離及外心的判斷 A 、B 、C 、D 的位置向量分別為 ti + 14j + sk、12i − sj − 2k、(s + 2)i − 16j + 10k 及 −ti + (s + 2)j + 14k，且 AB 平行於 5i − 4j − 2k。Π 為通過 A 、B 、C 的平面。(a) 求 s 及 t 、△ABC 的面積、四面體 ABCD 的體積，以及 D 至 Π 的最短距離。(b) E 為 D 在 Π 上的投影。E 是否 △ABC 的外心？
鏡頭環繞四面體 ABCD。紅色線段 DE 長 24，是由 D 至藍色三角形 ABC 的垂線；垂足 E 明顯較接近 B 及 C 而遠離 A，所以 E 不是外心。 自己試試 → (a) AB = (12 − t)i − (s + 14)j − (s + 2)k。由 j 及 k 分量：(s + 14)/4 = (s + 2)/2，故 s = 10；於是 AB = 6(5i − 4j − 2k)，12 − t = 30，t = −18 於是 A(−18, 14, 10)、B(12, −10, −2)、C(12, −16, 10)、D(18, 12, 14)；AB × AC = −180(2i + 2j + k)，面積 = ½ · 180 · 3 = 270 AD = 36i − 2j + 4k：體積 = (1/6)|AD · (AB × AC)| = (1/6)(180)(72 − 4 + 4) = 2160距離 = 3 × 體積 ÷ 面積 = 6480/270 = 24 (b) OE = OD − 24 · (2i + 2j + k)/3 = 2i − 4j + 6k。於是 EA² = 400 + 324 + 16 = 740，但 EB² = 100 + 36 + 64 = 200 EA ≠ EB，故 E 與各頂點並非等距答案： (a) s = 10、t = −18；面積 270；體積 2160；距離 24；(b) 不是
自己試試 →