2020 第 6 題 — y = 2^(x − 1) 上動點的相關變率
P(u, v) 在曲線 C₁: y = 2^(x − 1)（x > 0）上移動，使以 OP 為直徑的圓的面積以每秒 5π 平方單位增加。(a) 設 S = u² + v²。S 是否以固定速率增加？(b) 通過 P 的鉛垂線與 C₂: y = 2ˣ 相交於 Q。求 u = 2 時 △OPQ 面積的變率。
P 沿藍色曲線移動，Q 一直在其正上方的綠色曲線上，所以 PQ = 2^(u − 1) 是紅色三角形的底，u 是它的高。u = 2 時面積為 2，並以每秒 5 平方單位增加。 自己試試 → - (a) 圓的半徑為
OP/2，面積為 π(u² + v²)/4 = πS/4。於是 (π/4)(dS/dt) = 5π，得 dS/dt = 20：是，為固定速率 - (b)
PQ = 2ᵘ − 2^(u − 1) = 2^(u − 1)，而 O 至直線 PQ 的距離為 u：面積 A = ½u · 2^(u − 1) = u · 2^(u − 2) - 由
v = 2^(u − 1)：dS/dt = (2u + 2v · v ln 2)(du/dt)。當 u = 2、v = 2：(4 + 8 ln 2)(du/dt) = 20，故 du/dt = 5/(1 + 2 ln 2) dA/dt = 2^(u − 2)(1 + u ln 2)(du/dt) = (1 + 2 ln 2) · 5/(1 + 2 ln 2)
答案： (a) 是，dS/dt = 20；(b) 每秒 5 平方單位
2020 第 7 題 — 由外點作切線及切點處的法線
曲線 Γ: y = f(x) 通過 (1, 2)，且 f′(x) = −2x + 8。(a) 求 Γ 的方程。(b) L 是 Γ 的一條切線，通過 (5, 14) 且斜率為負，並與 Γ 相切於 P。求 P 的坐標及 Γ 在 P 的法線方程。
紅色切線沿拋物線滑動。它兩次通過外點 (5, 14)：在 x = 3 時斜率為正，在 x = 7 時斜率為負。綠色線段就是後者，虛線則是 P(7, 2) 處的法線。 自己試試 → - (a)
f(x) = −x² + 8x + C；通過 (1, 2)：−1 + 8 + C = 2，故 y = −x² + 8x − 5 - (b) 設 P 的 x 坐標為 p。該處切線的斜率為
−2p + 8，並通過 (5, 14)：14 − (−p² + 8p − 5) = (−2p + 8)(5 − p) - 化簡：
p² − 10p + 21 = 0，故 p = 3（斜率 2）或 p = 7（斜率 −6） - 斜率須為負：
p = 7，f(7) = −49 + 56 − 5 = 2，故 P = (7, 2) - 法線斜率
= 1/6：y − 2 = (x − 7)/6
答案： (a) y = −x² + 8x − 5；(b) P(7, 2)，法線 x − 6y + 5 = 0
2020 第 9 題 — y = (x + 4)³/(x − 4)² 的漸近線、轉向點、拐點及面積
設 f(x) = (x + 4)³/(x − 4)²（x ≠ 4），其圖像為 H。(a) 求 H 的漸近線。(b) 求 f″(x)。(c) 有人聲稱 H 有兩個轉向點。你是否同意？(d) 求拐點。(e) 求由 H、x 軸及 y 軸所圍成區域的面積。
曲線只在 (−4, 0) 與 x 軸相切：它在該處變平後繼續上升，所以該點是拐點而非轉向點。曲線與兩軸之間、由 x = −4 至 0 的陰影區域面積為 136 − 192 ln 2 ≈ 2.92。 自己試試 → - (a) 長除：
(x + 4)³ = (x + 20)(x − 4)² + 192x − 256，故 f(x) = x + 20 + 192/(x − 4) + 512/(x − 4)²。漸近線：x = 4 及 y = x + 20 - (b)
f′(x) = 1 − 192/(x − 4)² − 1024/(x − 4)³ = (x + 4)²(x − 20)/(x − 4)³，而 f″(x) = 384/(x − 4)³ + 3072/(x − 4)⁴ = 384(x + 4)/(x − 4)⁴ - (c)
f′(x) = 0 時 x = −4 或 x = 20，但 f′ 在 x = −4 不變號（該因式為平方）。只有 x = 20 是轉向點：不同意 - (d)
f″ 在 x = −4 由負變正，且 f(−4) = 0：拐點為 (−4, 0) - (e) 面積
= ∫₋₄⁰ f(x) dx = [x²/2 + 20x + 192 ln|x − 4| − 512/(x − 4)]₋₄⁰ = (192 ln 4 + 128) − (8 − 80 + 192 ln 8 + 64) = 136 − 192 ln 2
答案： (a) x = 4、y = x + 20；(b) 384(x + 4)/(x − 4)⁴；(c) 不同意，只有一個；(d) (−4, 0)；(e) 136 − 192 ln 2
2020 第 12 題 — 向量積、平行四邊形及兩平面的夾角
設 OP = i + j + 4k 及 OQ = 5i − 7j − 4k；R 在 PQ 上且 PR : RQ = 1 : 3。(a) 求 OP × OR。(b) 設 OS = OP + OR，求四邊形 OPSR 的面積。(c) N 滿足 ON = λ(OP × OR)。(i) NR 是否垂直於 PQ？(ii) 若 NQ 平行於 11i + μj − 10k，求 λ 及 μ，並求 tan θ，其中 θ 為 △OPQ 與 △NPQ 的夾角。
鏡頭環繞沿 PQ 相連的兩個三角形：OPQ（藍）及 NPQ（橙）。綠色線段 OR 及 NR 均與 PQ 成直角，紅色線段 ON 垂直於藍色三角形，所以 tan θ = ON/OR = 2/3。 自己試試 → - (a)
OR = (3·OP + OQ)/4 = 2i − j + 2k，故 OP × OR = 6i + 6j − 3k - (b) OPSR 為平行四邊形：面積
= |OP × OR| = √(36 + 36 + 9) = 9 - (c)(i)
PQ = 4i − 8j − 8k。OR · PQ = 8 + 8 − 16 = 0，而由於 ON 垂直於平面 OPQ，ON · PQ = 0。故 NR · PQ = 0：是 - (ii)
NQ = (5 − 6λ)i + (−7 − 6λ)j + (−4 + 3λ)k。比較 i 及 k 分量：−10(5 − 6λ) = 11(−4 + 3λ)，故 λ = 2/9 - 於是
NQ = (1/3)(11i − 25j − 10k)，故 μ = −25 - OR 及 NR 均垂直於 PQ，故
θ = ∠ORN；ON ⊥ OR，因此 tan θ = |ON|/|OR| = (2/9 × 9)/3 = 2/3
答案： (a) 6i + 6j − 3k；(b) 9；(c)(i) 是；(ii) λ = 2/9、μ = −25、tan θ = 2/3