純量積 a · b = |a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ 是一個數。向量積 a × b 則是同時垂直於 a 和 b 的向量，大小為 |a||b| sin θ，可展開 3 × 3 行列式求得。
a · b = |a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃a · b = 0 ⟺ a ⊥ b（非零向量）a · a = |a|²a × b = (a₂b₃ − a₃b₂)i − (a₁b₃ − a₃b₁)j + (a₁b₂ − a₂b₁)k|a × b| = |a||b| sin θb × a = −(a × b), a × a = 0|a × b|² = |a|²|b|² − (a · b)²+ − +：j 項要減去。設 a = 2i + j − k 及 b = i − 2j + 3k。求 a × b，並驗證它同時垂直於 a 和 b。
(1)(3) − (−1)(−2) = 1−[(2)(3) − (−1)(1)] = −7(2)(−2) − (1)(1) = −5a × b = i − 7j − 5k(1)(2) + (−7)(1) + (−5)(−1) = 0 及 (1)(1) + (−7)(−2) + (−5)(3) = 0 ✓答案： a × b = i − 7j − 5k
求 a = 3i + 4k 與 b = i + 2j + 2k 的夾角，準確至三位有效數字。
a · b = (3)(1) + (0)(2) + (4)(2) = 11|a| = √(9 + 16) = 5, |b| = √(1 + 4 + 4) = 3cos θ = 11 / (5 × 3) = 11/15θ ≈ 42.8°答案： θ ≈ 42.8°
b × a = −(a × b)，必須依照題目的次序。相反，純量積的結果是一個數，切勿寫成 i、j、k 的形式。溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。