例題 1：計算三階行列式
計算三行分別為 (1, 2, 3)、(0, 1, 4) 及 (5, 6, 0) 的行列式。
1 × [(1)(0) − (4)(6)] = −24−2 × [(0)(0) − (4)(5)] = 403 × [(0)(6) − (1)(5)] = −15−24 + 40 − 15 = 1
答案： 1
二階及三階行列式（DSE M2）
二階行列式的值是 ad − bc。三階行列式按行展開：每個元素乘以刪去其所在行和列後餘下的二階行列式，正負號為 + − +。在 M2 中，行列式用於求逆矩陣及解線性方程組。
行列式公式
二階
|a b; c d| = ad − bc三階（沿第一行）
a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁)記法
|A| 或 det A奇異矩陣
|A| = 0 ⟺ A 沒有逆矩陣三角形 OAB 的面積
½ |a b; c d|，其中 A(a, b)、B(c, d) 按逆時針方向排列行列式例題詳解
例題 2：行列式為零時求 k
若三行分別為 (k, 1, 1)、(1, k, 1) 及 (1, 1, k) 的行列式等於 0，求 k 的值。
k(k² − 1) − 1(k − 1) + 1(1 − k) = k³ − 3k + 2k³ − 3k + 2 = (k − 1)(k² + k − 2) = (k − 1)²(k + 2)(k − 1)²(k + 2) = 0
答案： k = 1 or k = −2
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 中間一項要減去沿第一行展開時，正負號是
+ − +。漏掉第二項的負號，是三階行列式算錯的最常見原因。⚠️ 要寫出展開步驟計算機可以直接得出數值，但方法分是給展開過程的。最少要寫一行算式，尤其是當元素包含未知數（例如 k）時。
✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(三階展開)計算三行為 (2, −1, 3)、(1, 0, 4)、(−2, 5, 1) 的行列式。
(解 |A| = 0)若三行為 (1, 2, 3)、(4, k, 6)、(7, 8, 9) 的行列式為零，求 k。
(用行列式求面積)用行列式求三角形 OAB 的面積，其中 A(4, 1)、B(1, 3)。
常見問題
按某一行或某一列展開。沿第一行：把每個元素乘以刪去其所在行和列後餘下的二階行列式，配上正負號 + − +，再把三個結果相加。
課程說明指出行列式的性質並不在要求之內。直接展開計算必定可以接受。
代表該矩陣是奇異矩陣：它沒有逆矩陣，而以它為係數矩陣的方程組要麼無解，要麼有無限多個解。從幾何上看，行列式為零的二階矩陣會把任何圖形壓成面積為零。