對方程組 Ax = b（係數行列式為 Δ）：若 Δ ≠ 0，有唯一解（克萊瑪法則：x = Δₓ/Δ）。若 Δ = 0，方程組要麼無解，要麼有無限多個解，必須用高斯消去法判斷是哪一種情況。
x = Δₓ/Δ、y = Δᵧ/Δ、z = Δ_z/Δ（須 Δ ≠ 0）Δ ≠ 0唯一解Δ = 0，而 Δₓ、Δᵧ、Δ_z 其一不為 0無解Δ = Δₓ = Δᵧ = Δ_z = 0無解或無限多個解：用高斯消去法判斷x = A⁻¹b（須 |A| ≠ 0）Ax = 0必定相容；有非零解 ⟺ |A| = 0Δ。Δ ≠ 0 時有唯一解。解 Δ = 0 可找出參數的特殊值。0 0 0 | c（c ≠ 0）的一行，方程組無解；若出現 0 0 0 | 0，則有無限多個解：設其中一個變數為 t，再以 t 表示其餘變數。從幾何上看，每條方程代表一個平面。唯一解即三個平面交於一點；無限多個解即三個平面有一條公共直線；無解即三個平面沒有公共點。
考慮方程組 x + y + z = 2、2x + 3y + z = 3、x + 2y + kz = h。(a) 求方程組有唯一解時 k 的取值範圍。(b) 當 k = 0 時，求使方程組相容的 h 值，並解該方程組。
Δ = 1(3k − 2) − 1(2k − 1) + 1(4 − 3) = kΔ ≠ 0 ⟺ k ≠ 0k = 0：R₂ − 2R₁ 得 y − z = −1；R₃ − R₁ 得 y − z = h − 2h − 2 = −1 時才相容，所以 h = 1z = t：y = t − 1，x = 2 − y − z = 3 − 2t答案： (a) k ≠ 0；(b) h = 1，(x, y, z) = (3 − 2t, t − 1, t)，t 為任意實數
用克萊瑪法則解 2x + y = 5、x − 3y = −1。
Δ = (2)(−3) − (1)(1) = −7Δₓ = (5)(−3) − (1)(−1) = −14Δᵧ = (2)(−1) − (5)(1) = −7x = −14 / −7 = 2, y = −7 / −7 = 1答案： x = 2, y = 1
Δ = 0 時，方程組只是沒有唯一解，仍可能有無限多個解。必須化簡增廣矩陣才能分辨這兩種情況。Δ = 0 沒有定義。在參數取特殊值時，應改用高斯消去法，並以參數 t 寫出通解。溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。