例題 1：求二階逆矩陣
求 A = [2 1; 5 3] 的逆矩陣。
|A| = (2)(3) − (1)(5) = 1 ≠ 0- 對調主對角線元素，另外兩個元素變號：
[3 −1; −5 2] A⁻¹ = (1/1) [3 −1; −5 2]- 驗算：
[2 1; 5 3][3 −1; −5 2] = [1 0; 0 1]✓
答案： A⁻¹ = [3 −1; −5 2]
矩陣及逆矩陣（DSE M2）
矩陣相乘是「行乘列」，而一般情況下 AB ≠ BA。方陣 A 當且僅當 |A| ≠ 0 時有逆矩陣，此時 A⁻¹ = (1/|A|) adj A；對二階矩陣 [a b; c d]，即 (1/(ad − bc)) [d −b; −c a]。
矩陣公式（DSE M2）
二階逆矩陣
[a b; c d]⁻¹ = (1/(ad − bc)) [d −b; −c a]一般逆矩陣
A⁻¹ = (1/|A|) adj A, |A| ≠ 0不符合交換律一般而言
AB ≠ BA乘積的逆
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹乘積的行列式
|AB| = |A||B|, |A⁻¹| = 1/|A|轉置及冪
(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ, (Aⁿ)⁻¹ = (A⁻¹)ⁿ純量倍
(λA)⁻¹ = λ⁻¹A⁻¹如何求三階矩陣的逆矩陣
- 先求
|A|。若等於 0 便可停止：逆矩陣不存在。 - 求每個元素的餘因子：刪去該元素所在的行和列，計算餘下的二階行列式，再配上正負號
+ − + / − + − / + − +。 - 把餘因子矩陣轉置，得
adj A。 A⁻¹ = (1/|A|) adj A。- 驗算：
AA⁻¹必須等於單位矩陣。
對 [A | I] 進行初等行運算亦是同樣可接受的方法。
矩陣例題詳解
例題 2：由矩陣方程「由此求逆矩陣」
設 A = [2 1; 5 3]。證明 A² − 5A + I = 0，並由此以 A 及 I 表示 A⁻¹。
A² = [2 1; 5 3][2 1; 5 3] = [9 5; 25 14]5A − I = [10 5; 25 15] − [1 0; 0 1] = [9 5; 25 14] = A²- 所以
A² − 5A + I = 0，即A(5I − A) = I A⁻¹ = 5I − A = [3 −1; −5 2]
答案： A⁻¹ = 5I − A
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 乘法的次序
AB 與 BA 通常不相等。方程兩邊同乘 A⁻¹ 時，必須乘在同一邊：AX = B 得 X = A⁻¹B，而不是 BA⁻¹。⚠️「由此」代表要用上一部的結果若題目寫「由此求 A⁻¹」，應把矩陣方程分解成
A(…) = I 的形式。改用二階逆矩陣公式等於無視題目指示，可能完全不得分。⚠️ (AB)⁻¹ 的次序相反
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，不是 A⁻¹B⁻¹。同樣，除非 AB = BA，否則 (A + B)² ≠ A² + 2AB + B²。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(二階逆矩陣)求矩陣 [3 1; 4 2] 的逆矩陣。
(三階逆矩陣)求三行為 (1, 0, 2)、(0, 1, 1)、(1, 1, 0) 的三階矩陣的逆矩陣。
(矩陣與數學歸納法)設 A = [1 1; 0 1]。用數學歸納法證明對所有正整數 n，Aⁿ = [1 n; 0 1]。
常見問題
先計算行列式 ad − bc。若不等於零，把 a 和 d 對調，b 和 c 變號，再把每個元素除以行列式。
矩陣乘法是把第一個矩陣的行與第二個矩陣的列配對，調換次序會改變配對的行和列。只有特別的組合（例如一個矩陣與它的逆矩陣）才可交換。
不包括。M2 的矩陣只涵蓋運算、轉置，以及二階和三階方陣的逆矩陣。特徵值及對角化並不在課程之內。