數學歸納法有哪些步驟？

兩個步驟加一個結論。先證明 P(1) 成立；然後假設 P(k) 對某正整數 k 成立，並證明 P(k + 1) 成立；最後按數學歸納法原理，總結 P(n) 對所有正整數 n 成立。

DSE M2 會考整除性或不等式的數學歸納法嗎？

不會。課程說明訂明涉及不等式及整除性的歸納法證明並不在要求之內。M2 的數學歸納法以有限數列求和為主，亦可能與矩陣或二項式定理結合。

通常是因為欠缺用語：沒有寫明 P(1) 成立、沒有寫「對某正整數 k」，或漏了最後的結論句子。這些句子各佔分數。

用數學歸納法證明命題 P(n) 對所有正整數 n 成立：(1) 證明 P(1) 成立；(2) 假設 P(k) 對某正整數 k 成立，然後證明 P(k + 1) 成立。兩個步驟及結論句子缺一不可，才可取得滿分。

為何 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²：每個奇數加上一圈 L 形邊框，把 k × k 的正方形擴大成 (k + 1) × (k + 1)。這就是例題 1 歸納步驟的圖像。自己試試 →

寫出命題。「設 P(n) 為命題……」
基本步驟。「當 n = 1，左方 = ……，右方 = ……」。兩邊須分別計算，然後寫明 P(1) 成立。
假設。「假設 P(k) 對某正整數 k 成立，即……」。把含 k 的公式完整寫出。
歸納步驟。「當 n = k + 1，左方 =（首 k 項之和）+（第 (k + 1) 項）」。用假設取代前一部分，然後因式分解，直至與把 n 換成 k + 1 的右方相同。
結論。「根據數學歸納法原理，P(n) 對所有正整數 n 成立。」

用數學歸納法證明對所有正整數 n，1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²。

答案： 根據數學歸納法原理，P(n) 對所有正整數 n 成立。

用數學歸納法證明對所有正整數 n，1·2 + 2·3 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3。

當 n = 1：左方 = 2，右方 = (1)(2)(3)/3 = 2。P(1) 成立。
假設 1·2 + … + k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)/3。
當 n = k + 1：左方 = k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2)
提取公因式：= (k + 1)(k + 2)(k/3 + 1) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3
這正是 n = k + 1 時的右方，所以 P(k + 1) 成立。

答案： 根據數學歸納法原理，命題對所有正整數 n 成立。

⚠️ 應提取公因式，不要展開在歸納步驟中，應立即提取公因式。把所有項展開成三次式再重新因式分解，是最費時又最易失分的做法。

⚠️ 必須真正用上假設在代入假設的那一行註明「由假設」。若證明 P(k + 1) 時從未用過 P(k)，那就不是數學歸納法，會失去方法分。

⚠️ 不要由待證的結果出發應由左方出發，逐步推導至右方。若先寫「左方 = 右方」再兩邊運算，等於預先假設了結論。

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(平方和)用數學歸納法證明 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6。

(分數之和)用數學歸納法證明 1/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(n(n + 1)) = n/(n + 1)。

(含冪的和)用數學歸納法證明 1·2 + 2·2² + 3·2³ + … + n·2ⁿ = (n − 1)2ⁿ⁺¹ + 2。