例題 1：求某項的係數
求 (2 − x)⁵ 的展開式中 x³ 的係數。
Tr+1 = C(5, r) 2⁵⁻ʳ (−x)ʳ = C(5, r) 2⁵⁻ʳ (−1)ʳ xʳx³項對應r = 3C(5, 3) × 2² × (−1)³ = 10 × 4 × (−1) = −40
答案： −40
二項式定理（DSE M2）：展開式及通項
對正整數 n，(a + b)ⁿ = Σ C(n, r) aⁿ⁻ʳ bʳ（r = 0 至 n）。通項是 Tr+1 = C(n, r) aⁿ⁻ʳ bʳ。要求某一項的係數，先寫出通項，整理 x 的次數，再解出 r。
二項式定理公式
展開式
(a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + … + C(n, n)bⁿ通項
Tr+1 = C(n, r) aⁿ⁻ʳ bʳ二項式係數
C(n, r) = n! / (r!(n − r)!)特殊情況
(1 + x)ⁿ = 1 + nx + [n(n − 1)/2]x² + … + xⁿ求和記號
Σ(axr + byr) = aΣxr + bΣyr, Σi=1n a = na二項式定理例題詳解
例題 2：求常數項
求 (x² + 1/x)⁶ 的展開式中的常數項。
Tr+1 = C(6, r) (x²)⁶⁻ʳ (x⁻¹)ʳ = C(6, r) x¹²⁻³ʳ- 常數項：
12 − 3r = 0，所以r = 4 C(6, 4) = 15
答案： 15
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 正負號屬於該項在
(2 − x)⁵ 中，第二項是 −x，所以通項含有 (−1)ʳ。漏了它，所有奇數次冪的係數正負號都會出錯。⚠️ 項數是 r + 1含
C(n, r) 的是第 (r + 1) 項，因為 r 由 0 開始。「第 4 項」對應 r = 3。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(展開)把 (1 + 2x)⁴ 按 x 的升冪展開。
(兩展開式之積)求 (1 + x)⁴(1 − 2x)³ 的展開式中 x² 的係數。
(常數項)求 (2x − 1/x²)⁹ 的展開式中的常數項。
常見問題
T(r + 1) = C(n, r) aⁿ⁻ʳ bʳ，其中 r = 0、1、…、n。利用通項可直接求出某一項（例如常數項或 x³ 項），毋須寫出整個展開式。
不包括。M2 課程只涵蓋正整數指數。三項式的展開、最大係數或最大項，以及數值近似的應用，亦列明不在要求之內。
三角的第 n 行列出 (a + b)ⁿ 的係數 C(n, 0)、C(n, 1)、…、C(n, n)，每個數是它上方兩個數之和。中文稱為楊輝三角（賈憲三角）。