例題 1：可化為 eˣ 的二次方程的指數方程
解 e²ˣ − 3eˣ + 2 = 0。
- 設
u = eˣ：u² − 3u + 2 = 0 (u − 1)(u − 2) = 0eˣ = 1或eˣ = 2x = 0orx = ln 2
答案： x = 0 or x = ln 2
數 e 及自然對數（DSE M2）
e ≈ 2.71828 是當 n 趨向無窮大時 (1 + 1/n)ⁿ 的極限。自然對數 ln x 是以 e 為底的對數，所以 ln eˣ = x 及 eln x = x。e 在 M2 中十分重要，因為 eˣ 的導數是它本身，而 ln x 的導數是 1/x。
e 與 ln 的公式
定義
e = limn→∞ (1 + 1/n)ⁿ級數
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …互為反函數
ln eˣ = x, eln x = x (x > 0)任意底
aˣ = ex ln a換底公式
loga x = ln x / ln a對數定律
ln(xy) = ln x + ln y, ln(x/y) = ln x − ln y, ln xⁿ = n ln xe 的簡介例題詳解
例題 2：求其他底的對數函數的導數
若 y = log₂ x，求 dy/dx。
- 換底：
y = ln x / ln 2 1/ln 2是常數，所以dy/dx = (1/ln 2) · (1/x)
答案： dy/dx = 1 / (x ln 2)
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ ln 只對正數有定義若代換後得出
eˣ = −3，須捨去：eˣ 恆為正數。同樣，須檢查每個解都使 ln 內的數值為正。⚠️ ln(a + b) 不等於 ln a + ln b對數定律把乘積化為和，並不能把和拆開。
ln(x + 2) 不可分拆。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(eˣ 的二次方程)解 e^x − 6e^(−x) = 1。
(對數方程)解 ln(x + 2) + ln(x − 1) = ln 4。
(eˣ 與 ln x 的圖像)用圖像顯示 y = e^x 與 y = ln x 沿 y = x 互為反射。
常見問題
e 是一個無理常數，約等於 2.71828，定義為當 n 增大時 (1 + 1/n)ⁿ 的極限。以它為底的指數函數，其導數等於函數本身。
log 通常指以 10 為底，ln 則以 e 為底。兩者遵守相同的定律，並可用換底公式互相轉換：log₁₀ x = ln x / ln 10。
不需要。課程只要求認識這個定義，極限存在的證明並不在要求之內。