極限（DSE M2）：如何求函數的極限

當 x → a 時，f(x) 的極限是 f(x) 所趨近的值，與 f(a) 是否存在無關。若直接代入得 0/0，須先化簡：因式分解、有理化，或運用標準極限 lim sin θ/θ = 1（θ 以弧度表示）及 lim (eˣ − 1)/x = 1（變數趨向 0）。

用 AI 逐步解極限題目
y = sin x / x 在 x = 0 附近的圖像。函數在 0 沒有定義，但曲線由左右兩邊都趨向高度 1。 自己試試 →

極限公式（DSE M2）

三角函數的極限limθ→0 (sin θ)/θ = 1（θ 以弧度表示）
指數函數的極限limx→0 (eˣ − 1)/x = 1
和、積、商和、積、商的極限分別等於各極限的和、積、商，前提是各極限存在（且分母的極限不為 0）
有理函數在無窮遠處把分子和分母同除以 x 的最高次冪
根式乘以共軛式，例如 √(x + 2) − √x = 2 / (√(x + 2) + √x)

極限例題詳解

例題 1：用有理化處理 0/0 型極限

求 limx→0 (√(x + 4) − 2) / x。

  1. 直接代入得 0/0，所以分子分母同乘 √(x + 4) + 2
  2. (√(x + 4) − 2)(√(x + 4) + 2) = (x + 4) − 4 = x
  3. (√(x + 4) − 2) / x = 1 / (√(x + 4) + 2)
  4. 當 x → 0：1 / (2 + 2) = 1/4

答案： 1/4

例題 2：運用 lim sin θ / θ = 1

求 limx→0 (1 − cos x) / x²。

  1. 1 − cos x = 2 sin²(x/2)
  2. (1 − cos x) / x² = 2 sin²(x/2) / x² = ½ · [sin(x/2) / (x/2)]²
  3. 當 x → 0，sin(x/2) / (x/2) → 1
  4. ½ × 1² = ½

答案： 1/2

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ 0/0 不是答案得到 0/0 的意思是「先化簡」，並不代表「極限是 0」或「極限不存在」。因式分解、有理化或運用標準極限後，再代入一次。
⚠️ sin θ / θ → 1 須用弧度這個標準極限只在 θ 以弧度表示時成立，而且正弦函數內的式子必須與分母相同：sin 3x / 3x → 1，所以 sin 3x / x → 3。

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(因式分解)求當 x 趨向 3 時 (x² − 9)/(x − 3) 的極限。
(標準三角極限)求當 x 趨向 0 時 sin 5x / (2x) 的極限。
(無窮遠處的極限)求當 x 趨向無窮大時 (3x² − x + 1)/(2x² + 5) 的極限。

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