DSE M2 向量：i、j、k 表示式、模及運算

向量同時具有大小和方向。在 DSE M2 中，位置向量寫成 OP = xi + yj + zk，它的模是 |OP| = √(x² + y² + z²)，而由 A 到 B 的向量是 AB = OB − OA。

用 AI 逐步解向量的簡介題目
例題 1 的向量 OA、OB 及 AB = OB − OA 的三維圖。 自己試試 →

向量公式（DSE M2）

兩點之間的向量AB = OB − OA = b − a
模（大小）|xi + yj + zk| = √(x² + y² + z²)
單位向量â = a / |a|
平行向量存在實數 λ 使 a = λb
AB 的中點OM = (a + b) / 2
比較係數若 a、b 為非零且不平行，而 λa + μb = λ₁a + μ₁b，則 λ = λ₁ 及 μ = μ₁

如何以 a 和 b 表示一個向量

  1. 標示原點 O，寫出已知的位置向量：OA = a、OB = b。
  2. 沿已知的線段找一條由起點到終點的路徑，例如 OP = OA + AP。
  3. 把每個比例化成已知向量的分數：若 AP : PB = 1 : 2，則 AP = (1/3)AB = (1/3)(b − a)。
  4. 分別整理 a 項及 b 項。
  5. 若兩條不同路徑得出同一向量，比較 a 和 b 的係數，便可解出未知比例。

向量的簡介例題詳解

例題 1：兩點間的向量、模及單位向量

設 OA = 2i + j − 2k 及 OB = 4i − 3j + 2k。求 AB、|AB| 及與 AB 同方向的單位向量。

  1. AB = OB − OA = (4 − 2)i + (−3 − 1)j + (2 − (−2))k = 2i − 4j + 4k
  2. |AB| = √(2² + (−4)² + 4²) = √36 = 6
  3. 單位向量 = AB / |AB| = (1/3)i − (2/3)j + (2/3)k

答案： AB = 2i − 4j + 4k, |AB| = 6, (1/3)i − (2/3)j + (2/3)k

例題 2：以 a 和 b 表示向量

在三角形 OAB 中，OA = a、OB = b。M 是 AB 的中點，G 在 OM 上且 OG : GM = 2 : 1。試以 a 和 b 表示 OG。

  1. OM = (a + b) / 2
  2. OG = (2/3) OM
  3. OG = (2/3) · (a + b) / 2 = (a + b) / 3

答案： OG = (a + b) / 3

💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)

⚠️ AB 是「終點減起點」AB = OB − OA，不是 OA − OB。次序寫反會令所有正負號相反，其後的步驟通常連方法分都失去。
⚠️ 比較係數前要說明向量不平行只有當 a、b 為非零且不平行時，才可比較它們的係數。比較前要先寫明這一點，否則該步驟欠缺理由。

✏️ 自我測試：互動練習

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(兩點間的向量)已知 OA = i + 2j + 3k 及 OB = 4i − 2j + k，求 AB 及 |AB|。
(單位向量)求與 3i − 4j + 12k 同方向的單位向量。
(分點公式)在三角形 OAB 中，P 把 AB 分成 1 : 3。以 a 和 b 表示 OP。

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