在一個為時 24 小時的實驗開始時，容器內有 580 cm³ 液體。實驗期間 dV/dt = −2t，其中 V cm³ 為 t 小時後的體積。(a) 實驗結束時容器內是否仍有液體？(b) 已知 V = h² + 24h，其中 h cm 為液體深度，求 t = 18 時的 dh/dt。
V = −t² + C，而 t = 0 時 V = 580，故 V = 580 − t²t = 24：V = 580 − 576 = 4 > 0，故仍有液體t = 18：V = 580 − 324 = 256，故 h² + 24h − 256 = 0，(h − 8)(h + 32) = 0，h = 8dV/dt = (2h + 24)(dh/dt)：−36 = 40 · dh/dt答案： (a) 是，仍剩 4 cm³；(b) dh/dt = −0.9（每小時 cm）
函數 h(x) 定義於 x > 0，且 h′(x) = (2x² − 7x + 8)/x。(a) h(x) 是否遞增函數？(b) 曲線 H: y = h(x) 通過 (1, 3)。求 H 的方程及其拐點。
2x² − 7x + 8 的 Δ = 49 − 64 < 0，故恆為正；由於 x > 0，h′(x) > 0。是，h(x) 為遞增函數h′(x) = 2x − 7 + 8/x，故 h(x) = x² − 7x + 8 ln x + C(1, 3)：1 − 7 + 0 + C = 3，故 C = 9h″(x) = 2 − 8/x² = 2(x − 2)(x + 2)/x² 在 x = 2 由負變正h(2) = 4 − 14 + 8 ln 2 + 9 = 8 ln 2 − 1答案： (a) 是；(b) y = x² − 7x + 8 ln x + 9，拐點 (2, 8 ln 2 − 1)
設 Γ 為曲線 y = (1/3)√(12 − x²)（0 < x < 2√3），L 為 Γ 在 x = 3 的切線。(a) 求 L 的方程。(b) C 為曲線 y = √(4 − x²)（0 < x < 2），而 L 亦是 C 的切線。求(i) L 與 C 的切點；(ii) C 與 Γ 的交點；(iii) 由 L、C 及 Γ 所圍成區域的面積。
x = 3：y = √3/3，dy/dx = −x/(3√(12 − x²)) = −1/√3。故 L：y − √3/3 = −(x − 3)/√3，即 x + √3y − 4 = 0x² + y² = 4 的一部分。通過切點的半徑垂直於 L，故其斜率為 √3：y = √3x，得 (1, √3)4 − x² = (12 − x²)/9 得 x² = 3：交點為 (√3, 1)= ∫₁³ (4 − x)/√3 dx − ∫₁^{√3} √(4 − x²) dx − ∫_{√3}³ (1/3)√(12 − x²) dx4√3/3。設 x = 2 sin θ，第二個積分為 [2θ + sin 2θ] 由 π/6 至 π/3 = π/3；設 x = 2√3 sin θ，第三個積分為 [2θ + sin 2θ] 由 π/6 至 π/3 = π/34√3/3 − π/3 − π/3 = 4√3/3 − 2π/3答案： (a) x + √3y − 4 = 0；(b)(i) (1, √3)；(ii) (√3, 1)；(iii) 4√3/3 − 2π/3
設 OA = i − 4j + 2k、OB = −5i − 4j + 8k 及 OC = −5i − 12j + tk，且 |AC| = |BC|。(a) 求 t。(b) 求 AB × AC。(c) 求錐體 OABC 的體積。(d) Π 為通過 A、B、C 的平面，與坐標軸相交於 P、Q、R，其中 OP = pi、OQ = qj、OR = rk；D 為 O 在 Π 上的投影。求 OD，並描述 D、O 與滿足 OE = (1/p)i + (1/q)j + (1/r)k 的點 E 之間的關係。
|AC|² = 36 + 64 + (t − 2)²、|BC|² = 0 + 64 + (t − 8)²。令兩者相等：12t = 24，t = 2AB = −6i + 6k、AC = −6i − 8j：AB × AC = 48i − 36j + 48k = 12(4i − 3j + 4k)= (1/6)|OA · (AB × AC)| = (1/6)(48 + 144 + 96) = 484x − 3y + 4z = 24（代入 A）。D 在通過 O 的法線上：OD = λ(4i − 3j + 4k)，其中 41λ = 24p = 6、q = −8、r = 6，故 OE = (1/6)i − (1/8)j + (1/6)k = (1/24)(4i − 3j + 4k)，與 OD 平行答案： (a) t = 2；(b) 48i − 36j + 48k；(c) 48；(d) OD = (24/41)(4i − 3j + 4k)；O、E、D 共線
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2019 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。