(a) 利用代換法求 ∫ x³√(1 + x²) dx。(b) 曲線 Γ 在任意點 (x, y) 的切線斜率為 15x³√(1 + x²)，且 Γ 的 y 截距為 2。求 Γ 的方程。
u = 1 + x²，du = 2x dx，x² = u − 1：∫ x³√(1 + x²) dx = ½∫ (u − 1)√u du= ½[(2/5)u^(5/2) − (2/3)u^(3/2)] + C = (1 + x²)^(5/2)/5 − (1 + x²)^(3/2)/3 + Cy = 15 × （(a) 的結果）= 3(1 + x²)^(5/2) − 5(1 + x²)^(3/2) + Cx = 0，y = 2：3 − 5 + C = 2，故 C = 4答案： (a) (1 + x²)^(5/2)/5 − (1 + x²)^(3/2)/3 + C；(b) y = 3(1 + x²)^(5/2) − 5(1 + x²)^(3/2) + 4
設 f(x) = A/(x² − 4x + 7)，其中 A 為常數，且 f(x) 的極值為 4。(a) 求 f′(x)。(b) 有人聲稱 y = f(x) 的圖像最少有兩條漸近線。你是否同意？(c) 求該圖像的拐點。
x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3 在 x = 2 取最小值 3，故極值為 A/3 = 4，A = 12f′(x) = −12(2x − 4)/(x² − 4x + 7)² = −24(x − 2)/(x² − 4x + 7)²x → ±∞，f(x) → 0，故唯一的漸近線是 y = 0。該說法不正確f″(x) = 72[(x − 2)² − 1]/(x² − 4x + 7)³ = 72(x − 1)(x − 3)/(x² − 4x + 7)³f″ 在 x = 1 及 x = 3 變號，且 f(1) = f(3) = 12/4 = 3答案： (a) −24(x − 2)/(x² − 4x + 7)²；(b) 不同意，只有 y = 0；(c) (1, 3) 及 (3, 3)
P 是曲線 C: y = ln √x（x > 1）上的動點，其 x 坐標為 r。C 在 P 的法線與 x 軸相交於 Q，通過 P 的鉛垂線與 x 軸相交於 R。(a) 證明 Q 的 x 坐標為 (4r² + ln r)/(4r)。(b) 求 △PQR 的最大面積。
y = ½ ln x，故 P 的切線斜率為 1/(2r)，法線斜率為 −2ry − ½ ln r = −2r(x − r)。當 y = 0：x = r + (ln r)/(4r) = (4r² + ln r)/(4r)QR = (ln r)/(4r) 及 PR = ½ ln r，直角在 R：面積 S = (ln r)²/(16r)dS/dr = [2 ln r − (ln r)²]/(16r²) = (ln r)(2 − ln r)/(16r²)r > 1，dS/dr 在 ln r = 2（即 r = e²）由正變負，故 S 在該處最大S = 2²/(16e²) = 1/(4e²)答案： 最大面積 = 1/(4e²)
前面的部分已求得 ∫₀^π sin⁴x dx = 3π/8 及 ∫₀^π x sin⁴x dx = 3π²/16。考慮曲線 G: y = √x sin²x（π ≤ x ≤ 2π）。由 G 及 x 軸所圍成的區域繞 x 軸旋轉，求該旋轉體的體積。
V = π∫_π^{2π} y² dx = π∫_π^{2π} x sin⁴x dxx = u + π；由於 sin⁴(u + π) = sin⁴u：∫_π^{2π} x sin⁴x dx = ∫₀^π (u + π) sin⁴u du= 3π²/16 + π · 3π/8 = 9π²/16V = π · 9π²/16答案： V = 9π³/16
A、B、C、D 的位置向量分別為 4i − 3j + k、−i + 3j − 3k、7i − j + 5k 及 3i − 2j − 5k。Π 為通過 A、B、C 的平面，E 為 D 在 Π 上的投影。(a) 求 AB × AC、四面體 ABCD 的體積及 DE。(b) F 在 BC 上且 DF ⊥ BC。求 DF，並判斷 BC 是否垂直於 EF。(c) 求 △BCD 與 Π 的夾角。
AB = −5i + 6j − 4k、AC = 3i + 2j + 4k：AB × AC = 32i + 8j − 28k = 4(8i + 2j − 7k)AD = −i + j − 6k，故 AD · (AB × AC) = −32 + 8 + 168 = 144，體積為 144/6 = 24n = 8i + 2j − 7k（|n|² = 117，AD · n = 36）：DE = −(36/117)n = −(4/13)(8i + 2j − 7k)BC = 8i − 4j + 8k、BD = 4i − 5j − 2k，故 BF = (BD · BC/|BC|²)BC = (36/144)BC = 2i − j + 2k。於是 F = (1, 2, −1)，DF = −2i + 4j + 4kEF = DF − DE。BC · DF = 0，而由於 DE 垂直於包含 BC 的 Π，BC · DE = 0。故 BC · EF = 0：是，BC ⊥ EF∠DFE：sin ∠DFE = |DE|/|DF| = (12/√13)/6 = 2/√13，約 33.7°答案： (a) 32i + 8j − 28k；體積 24；DE = −(4/13)(8i + 2j − 7k)；(b) DF = −2i + 4j + 4k，是；(c) sin⁻¹(2/√13) ≈ 33.7°
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2018 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。