一個容器呈倒置直立圓錐，高 20 cm，底半徑 15 cm，鉛垂放置。現向容器注水。(a) 設濕曲面面積為 A cm²，水深為 h cm。證明 A = 15πh²/16。(b) 水深以 3/π cm/s 的固定速率增加。求水的體積為 96π cm³ 時濕曲面面積的變率。
r = (15/20)h = 3h/4，斜高為 √(h² + r²) = 5h/4A = π r l = π(3h/4)(5h/4) = 15πh²/16V = (1/3)πr²h = 3πh³/16。令 3πh³/16 = 96π：h³ = 512，故 h = 8dA/dt = (15πh/8)(dh/dt) = (15π · 8/8)(3/π)答案： dA/dt = 45 cm²/s
曲線 Γ: y = f(x) 定義於 x > 0，通過 P(e³, 7)，且 f′(x) = (1/x) ln x²。求(a) Γ 在 P 的切線方程；(b) Γ 的方程；(c) Γ 的拐點。
x > 0，ln x² = 2 ln x，故 f′(x) = (2 ln x)/x2 · 3/e³ = 6/e³。切線：y − 7 = (6/e³)(x − e³)，即 y = 6x/e³ + 1u = ln x：y = ∫ 2u du = (ln x)² + C。通過 P：9 + C = 7，故 y = (ln x)² − 2f″(x) = (2 − 2 ln x)/x²，在 x = e 為 0，並在該處由正變負f(e) = 1 − 2 = −1答案： (a) y = 6x/e³ + 1；(b) y = (ln x)² − 2；(c) (e, −1)
設 f(x) = (x² − 5x)/(x + 4)（x ≠ −4），其圖像為 G。(a) 求 G 的漸近線。(b) 求 f′(x)。(c) 求 G 的極大點及極小點。(d) R 是由 G 及 x 軸所圍成的區域。求 R 繞 x 軸旋轉所得旋轉體的體積。
x² − 5x = (x + 4)(x − 9) + 36，故 f(x) = x − 9 + 36/(x + 4)。漸近線：x = −4 及 y = x − 9f′(x) = 1 − 36/(x + 4)² = (x + 10)(x − 2)/(x + 4)²f′ 在 x = −10 由正變負：極大點 (−10, −25)。在 x = 2 由負變正：極小點 (2, −1)x = 0 及 x = 5。設 u = x + 4：V = π∫₄⁹ (u − 13 + 36/u)² du(u − 13 + 36/u)² = u² − 26u + 241 − 936/u + 1296/u²V = π[u³/3 − 13u² + 241u − 936 ln u − 1296/u]₄⁹ = π(2285/3 − 936 ln(9/4))答案： (a) x = −4、y = x − 9；(c) 極大點 (−10, −25)，極小點 (2, −1)；(d) π(2285/3 − 1872 ln(3/2)) ≈ 8.28
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2017 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。