P 是曲線 C: y = 2eˣ（x > 0）上的一點，其 x 坐標為 u。通過 P 的水平線與 y 軸相交於 Q，O 為原點。(a) 以 u 表示 △OPQ 的面積。(b) 若 OQ 以每秒 6 單位的固定速率增加，求 u = 4 時該面積的變率。
PQ = u 及 OQ = 2eᵘ，直角在 Q：面積 A = ½ · u · 2eᵘ = u eᵘd(OQ)/dt = 2eᵘ · du/dt = 6，故 du/dt = 3e⁻ᵘdA/dt = (eᵘ + u eᵘ) · du/dt = (1 + u)eᵘ · 3e⁻ᵘ = 3(1 + u)u = 4：dA/dt = 3 × 5 = 15答案： (a) u eᵘ；(b) 每秒 15 平方單位
考慮曲線 Γ: y = 4x² − 4x（1 ≤ x ≤ 4）。R 是由 Γ、直線 y = 48 及兩條坐標軸所圍成的區域。求 R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體的體積。
(1, 0) 伸展至 (4, 48)，故 R 位於 y 軸與 Γ 之間，0 ≤ y ≤ 48V = π∫₀⁴⁸ x² dydy = (8x − 4) dx，x 由 1 至 4V = π∫₁⁴ x²(8x − 4) dx = π[2x⁴ − 4x³/3]₁⁴= π[(512 − 256/3) − (2 − 4/3)] = π(510 − 84)答案： V = 426π
設 f(x) = x³ + ax² + bx + 5，C 為曲線 y = f(x)。P(−1, 10) 是 C 的一個轉向點。(a) 求 a 及 b。(b) P 是否極大點？(c) 求 f(x) 的極小值。(d) 求拐點。(e) L 為 C 在 P 的切線；求 C 與 L 所圍成區域的面積。
f(−1) = 10：a − b = 6。f′(−1) = 0：3 − 2a + b = 0。解得 a = −3、b = −9f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) 在 x = −1 由正變負，故 P 是極大點f′ 在 x = 3 由負變正：極小值 f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22f″(x) = 6x − 6 在 x = 1 變號，且 f(1) = −6：拐點為 (1, −6)y = 10。f(x) = 10 得 x³ − 3x² − 9x − 5 = (x + 1)²(x − 5) = 0，故兩者在 x = 5 再次相交∫₋₁⁵ (−x³ + 3x² + 9x + 5) dx = [−x⁴/4 + x³ + 9x²/2 + 5x]₋₁⁵ = 425/4 − (−7/4) = 108答案： (a) a = −3、b = −9；(b) 是；(c) −22；(d) (1, −6)；(e) 108
設 OA = 2j + 2k、OB = 4i + j + k 及 OP = i + tj，其中 P 與 A 及 B 等距。(a) 求 t。(b) 設 OC = 2i − j + 4k 及 OD = 3i + 2j + 5k，Π 為通過 A、B、C 的平面。求(i) 一個垂直於 Π 的單位向量；(ii) CD 與 Π 的夾角。
|PA|² = 1 + (t − 2)² + 4 及 |PB|² = 9 + (t − 1)² + 1。令兩者相等：t² − 4t + 9 = t² − 2t + 11，故 t = −1AB = 4i − j − k、AC = 2i − 3j + 2k，故 AB × AC = −5i − 10j − 10k = −5(i + 2j + 2k)(i + 2j + 2k)/3（或其負值）CD = i + 3j + k，|CD| = √11。設 θ 為 CD 與 Π 的夾角：sin θ = |CD · n̂| = (1 + 6 + 2)/(3√11) = 3/√11θ = sin⁻¹(3/√11) ≈ 64.8°答案： (a) t = −1；(b)(i) ±(i + 2j + 2k)/3；(ii) sin⁻¹(3/√11) ≈ 64.8°
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2016 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。