2015 第 9 題 — y = (x² + 12)/(x − 2) 的極值、漸近線及面積
設 f(x) = (x² + 12)/(x − 2)（x ≠ 2）。(a) 求 f′(x)。(b) 證明 f(x) 的極大值及極小值分別為 −4 及 12。(c) 求 y = f(x) 的漸近線。(d) 求該圖像與直線 y = 14 所圍成區域的面積。
直線 y = 14（藍）與曲線右支（紅）之間的區域由 x = 4 填至 x = 10。曲線下降至極小點 (6, 12)，所以區域是一個薄薄的月牙形，面積為 30 − 32 ln 2 ≈ 7.82。 自己試試 → - (a) 商法則：
f′(x) = [2x(x − 2) − (x² + 12)]/(x − 2)² = (x² − 4x − 12)/(x − 2)² = (x − 6)(x + 2)/(x − 2)² - (b)
f′ 在 x = −2 由正變負：極大值 f(−2) = 16/(−4) = −4。在 x = 6 由負變正：極小值 f(6) = 48/4 = 12 - (c)
f(x) = x + 2 + 16/(x − 2)：鉛垂漸近線 x = 2，斜漸近線 y = x + 2 - (d)
f(x) = 14：x² − 14x + 40 = 0，故 x = 4 或 x = 10 - 面積
= ∫₄¹⁰ [14 − x − 2 − 16/(x − 2)] dx = [12x − x²/2 − 16 ln(x − 2)]₄¹⁰ = (70 − 16 ln 8) − (40 − 16 ln 2) = 30 − 16 ln 4 = 30 − 32 ln 2
答案： (a) (x − 6)(x + 2)/(x − 2)²；(c) x = 2 及 y = x + 2；(d) 30 − 32 ln 2
2015 第 10 題 — 三角形上的比，以及三維的面積和體積
在三角形 OAB 中，P 為 OA 的中點，Q 在 AB 上且 AQ : QB = 1 : 2，R 在 OB 上且 OR : RB = 3 : 1。PR 與 OQ 相交於 C。(a) 設 PC : CR = t : (1 − t)，求 t 及 CQ : OQ。(b) 已知 OA = 20i − 6j − 12k、OB = 16i − 16j 及 OD = i + 3j − 6k，求 △OAB 的面積及四面體 ABCD 的體積。
鏡頭環繞圖形。三角形 OAB（灰色）的面積為 176；C 在其內的 OQ 上，四面體 ABCD 以藍色三角形 ABC 為底、D 為頂，體積為 42。 自己試試 → - (a) 設
a = OA、b = OB。則 OQ = (2a + b)/3、OP = a/2、OR = 3b/4，而 OC = (1 − t)a/2 + 3t b/4 - C 在 OQ 上，故 a 與 b 的係數之比為 2 : 1：
(1 − t)/2 = 2 · (3t/4)，得 t = 1/4 - 於是
OC = (3/8)a + (3/16)b = (9/16)·OQ，故 CQ : OQ = 7 : 16 - (b)
OA × OB = −192i − 192j − 224k = −32(6i + 6j + 7k)，故 △OAB 的面積 = ½ · 32 · √(36 + 36 + 49) = 16 · 11 = 176 - C 在平面 OAB 上，且
CQ = (7/16)OQ，故 △ABC 的面積 = (7/16) · 176 = 77 - D 至平面 OAB（法向量
6i + 6j + 7k，通過 O）的高：|6 + 18 − 42|/11 = 18/11。體積 = (1/3) · 77 · 18/11 = 42
答案： (a) t = 1/4，CQ : OQ = 7 : 16；(b) 面積 176，體積 42
2015 第 12 題 — 旋轉而成的杯及水位上升率
某曲線由 x² − 4y + 8 = 0 的弧 AB、線段 BC（在 3x + y − 9 = 0 上）及 CO 組成，其中 B 在第一象限，C 在 x 軸上。(a) 求 B，並證明當 A 的 y 坐標為 h > 3 時，該曲線繞 y 軸旋轉而成的杯的容量為 π(2h² − 8h + 25)。(b) 一隻這種形狀的杯，底半徑 3 cm，杯口半徑 6 cm。求其容量，以及當以 24π cm³/s 注水而水的體積為 35π cm³ 時水深的上升率。
鏡頭環繞這隻杯。杯的下半部是由半徑 3 收窄至 2 的圓錐台，3 cm 以上則沿拋物線向外張開。藍色圓盤是水深 5 cm 時的水面，此時水的體積為 35π cm³。 自己試試 → - (a) 代入
y = 9 − 3x：x² + 12x − 28 = 0，故 x = 2（第一象限），B = (2, 3)；C 為 (3, 0) - 下半部（
0 ≤ y ≤ 3，x = (9 − y)/3）：π∫₀³ (9 − y)²/9 dy = (π/27)(9³ − 6³) = 19π - 上半部（
3 ≤ y ≤ h，x² = 4y − 8）：π∫₃ʰ (4y − 8) dy = π(2h² − 8h + 6)。合計 = π(2h² − 8h + 25) - (b) 杯口半徑 6：
36 = 4h − 8，故 h = 11，容量 = π(242 − 88 + 25) = 179π cm³ 35π > 19π，故水面在上半部：2y² − 8y + 25 = 35，得水深 y = 5- 在
y = 5，dV/dy = πx² = π(4y − 8) = 12π，故 dy/dt = 24π/12π = 2
答案： (a) B = (2, 3)；(b) 容量 179π cm³，水深以 2 cm/s 上升