2014 第 3 題 — 隱函數曲線 x ln y + y = 2 的切線
求曲線 x ln y + y = 2 在其與 y 軸交點處的切線方程。
- 在 y 軸上
x = 0，故y = 2：該點為(0, 2) - 隱函數求導：
ln y + (x/y)(dy/dx) + dy/dx = 0 - 在
(0, 2)：ln 2 + 0 + dy/dx = 0，故dy/dx = −ln 2 - 切線：
y − 2 = −(ln 2)(x − 0)
答案： y = −(ln 2)x + 2
2014 第 6 題 — y = xe⁻ˣ 與 y = x/e 之間的面積
(a) 求 ∫ x e⁻ˣ dx。(b) 求由曲線 y = x e⁻ˣ 及直線 y = x/e 所圍成區域的面積。
- (a) 分部積分，取
u = x、dv = e⁻ˣ dx：∫ x e⁻ˣ dx = −x e⁻ˣ + ∫ e⁻ˣ dx = −x e⁻ˣ − e⁻ˣ + C - (b) 交點：
x e⁻ˣ = x/e得x = 0或e⁻ˣ = e⁻¹，即x = 1 - 兩交點之間曲線在直線之上，故面積
= ∫₀¹ (x e⁻ˣ − x/e) dx = [−x e⁻ˣ − e⁻ˣ]₀¹ − [x²/(2e)]₀¹ = (−2/e + 1) − 1/(2e)
答案： (a) −x e⁻ˣ − e⁻ˣ + C；(b) 1 − 5/(2e)
2014 第 8 題 — 四面體體積及直線與平面的夾角
設 OP = −i + 2j + 2k、OQ = i − j + 2k 及 OR = 2i − 3j + 6k。(a) 求 OP × OQ，由此求四面體 OPQR 的體積。(b) 求平面 OPQ 與直線 OR 所成的銳角，準確至 0.1°。
OP × OQ = (2·2 − 2·(−1))i − ((−1)·2 − 2·1)j + ((−1)(−1) − 2·1)k = 6i + 4j − k- (a) 體積
= (1/6)|OR · (OP × OQ)| = (1/6)|12 − 12 − 6| = 1 - (b) 設 θ 為 OR 與平面的夾角。取法向量
n = 6i + 4j − k：sin θ = |OR · n| / (|OR| |n|) |OR| = √(4 + 9 + 36) = 7,|n| = √(36 + 16 + 1) = √53sin θ = 6/(7√53),θ ≈ 6.8°
答案： (a) OP × OQ = 6i + 4j − k，體積 = 1；(b) 6.8°
2014 第 10 題 — 越過書櫃的最短梯子
一個書櫃靠牆而立，其側視圖為闊 24 cm、高 192 cm 的長方形。一把梯子 HK 同時接觸牆（於 H）、書櫃頂部的外緣及地面（於 K），並與地面成 θ 角。(a) 以 θ 表示 HK。(b) 證明這樣的梯子最短為 120√5 cm。
- (a) 以書櫃頂角 B 把梯子分成兩段：上段橫跨 24 cm 的闊度，下段對應 192 cm 的高度。
HK = 24/cos θ + 192/sin θ d(HK)/dθ = 24 sin θ/cos² θ − 192 cos θ/sin² θ- 令其為 0：
24 sin³ θ = 192 cos³ θ，故tan³ θ = 8，tan θ = 2 - 導數在該處由負變正（θ 細小時為負，接近 90° 時為正），故 HK 為最小
- 當
tan θ = 2：cos θ = 1/√5、sin θ = 2/√5，故HK = 24√5 + 96√5 = 120√5
答案： (a) HK = 24/cos θ + 192/sin θ cm；(b) 最短長度為 120√5 cm
2014 第 13(d) 題 — 利用對稱性求繞 y 軸的體積
前面的部分已證明 ∫₀^{nπ} cos²x sin⁴x dx = nπ/16，以及若 f(k − x) = f(x)，則 ∫₀ᵏ x f(x) dx = (k/2)∫₀ᵏ f(x) dx。由 y = cos²x sin⁴x 及 x 軸在 π ≤ x ≤ 2π 所圍成的區域繞 y 軸旋轉，求該旋轉體的體積。
- 以圓殼法繞 y 軸：
V = 2π∫_π^{2π} x f(x) dx，其中f(x) = cos²x sin⁴x f(2π − x) = f(x)，取k = 2π：∫₀^{2π} x f(x) dx = π · (2π/16) = π²/8f(π − x) = f(x)，取k = π：∫₀^π x f(x) dx = (π/2)(π/16) = π²/32∫_π^{2π} x f(x) dx = π²/8 − π²/32 = 3π²/32V = 2π · 3π²/32
答案： V = 3π³/16
如何使用這份 2014 年 DSE M2 題解
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2014 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。
常見問題
精選題目涵蓋曲線描繪、切線、面積、旋轉體體積、變率及三維向量。每題均附逐步題解及一段簡短的 GeoGebra 動畫。
不是。這些是 SketchMath 自行編寫的題解。最終答案已用數值方法核對，但步驟的鋪排是我們自己的，並非評卷參考。
可以。點擊任何影片即可在 SketchMath 對話中開啟該作圖，然後要求改動（例如另一條曲線、另一個積分上下限或另一個向量），圖像及步驟便會重新生成。