某曲線在任意點 (x, y) 的斜率為 dy/dx = eˣ − 1，且曲線通過 (1, e)。求(a) 曲線的方程；(b) 曲線與 y 軸交點處的切線方程。
y = ∫(eˣ − 1) dx = eˣ − x + C(1, e)：e = e − 1 + C，故 C = 1，y = eˣ − x + 1x = 0：y = 1 − 0 + 1 = 2= e⁰ − 1 = 0，故切線為水平線答案： (a) y = eˣ − x + 1；(b) y = 2
設 f(x) = (3 − 3x²)/(3 + x²)。已知 f′(x) 及 f″(x) 的符號：x < 0 時 f′ > 0，f′(0) = 0，x > 0 時 f′ < 0；|x| > 1 時 f″ > 0，f″(±1) = 0，|x| < 1 時 f″ < 0。求 y = f(x) 的極大／極小點、拐點及漸近線，並描繪其圖像。
f′ 在 x = 0 由正變負，且 f(0) = 3/3 = 1：極大點為 (0, 1)；沒有極小點f″ 在 x = −1 及 x = 1 變號，且 f(±1) = 0/4 = 0：拐點為 (−1, 0) 及 (1, 0)x²：當 x → ±∞，f(x) = (3/x² − 3)/(3/x² + 1) → −33 + x² 永不為零，故沒有鉛垂漸近線答案： 極大點 (0, 1)；拐點 (−1, 0) 及 (1, 0)；水平漸近線 y = −3
曲線 C: y = −x²/2 + 2x + 4 與直線 L₁: y = 4 相交於 (0, 4) 及 (4, 4)；L₂ 為直線 x = 5。陰影區域位於 C 與 L₁ 之間，由 x = 0 至 x = 5。求(a) 其面積；(b) 該區域繞 L₁ 旋轉所得的體積。
L₁ 的高度：y − 4 = −x²/2 + 2x，在 (0, 4) 為正，在 (4, 5) 為負∫₀⁴ (−x²/2 + 2x) dx = [−x³/6 + x²]₀⁴ = −32/3 + 16 = 16/3∫₄⁵ (x²/2 − 2x) dx = [x³/6 − x²]₄⁵ = (−25/6) − (−16/3) = 7/6= 16/3 + 7/6 = 13/2L₁ 旋轉時半徑為 |y − 4|，平方後符號消失：V = π∫₀⁵ (−x²/2 + 2x)² dx = π∫₀⁵ (x⁴/4 − 2x³ + 4x²) dxV = π[x⁵/20 − x⁴/2 + 4x³/3]₀⁵ = π(625/4 − 625/2 + 500/3) = 125π/12答案： (a) 13/2；(b) 125π/12
設 OA = 2i 及 OB = i + 2j。M 為 OA 的中點，N 在 AB 上且 BN : NA = k : 1。BM 與 ON 相交於 P。(a) 以 k 表示 ON。(b) 若 A、N、P、M 共圓，求 k。
ON = (OB + k·OA)/(k + 1) = [(1 + 2k)i + 2j]/(k + 1)M = (1, 0) 及 B = (1, 2)，故 BM 為鉛垂線，∠PMA = 90°∠PNA = 90°，即 ON ⊥ ABAB = OB − OA = −i + 2jON · AB = 0：−(1 + 2k) + 4 = 0答案： (a) ON = [(1 + 2k)i + 2j]/(k + 1)；(b) k = 3/2
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2013 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。