就曲線 y = (x² + x + 1)/(x + 1)，求其極小點及漸近線。
x² + x + 1 = x(x + 1) + 1，故 y = x + 1/(x + 1)x = −1（分母為零）及斜漸近線 y = x（因 1/(x + 1) → 0）dy/dx = 1 − 1/(x + 1)² = x(x + 2)/(x + 1)²dy/dx = 0 時 x = 0 或 x = −2。在 x = 0，dy/dx 由負變正，故為極小（x = −2 為極大）x = 0：y = 1答案： 極小點 (0, 1)；漸近線 x = −1 及 y = x
一隻玻璃杯呈倒置平截頭體，高 10 cm，底半徑 3 cm，杯口半徑 4 cm。水深 h cm 時，水的體積為 V = (π/300)(h³ + 90h² + 2700h) cm³。現以 7π cm³/s 注水，求 h = 5 時水深的增加率。
3 + h/10，代入平截頭體體積公式 V = (π/3)h[3² + 3(3 + h/10) + (3 + h/10)²]，展開即得題目的式子dV/dh = (π/300)(3h² + 180h + 2700) = (π/100)(h + 30)²dV/dt = (dV/dh)(dh/dt)h = 5：7π = (π/100)(35)² · dh/dt = 12.25π · dh/dtdh/dt = 7/12.25 = 4/7答案： 水深以 4/7 cm/s 增加
一個平行六面體的棱為 OA = 6i + 2j − k、OB = 2i + j 及 OC = 5i − j + 2k；OADB 是由 OA 及 OB 所張成的面。求(a) 平行四邊形 OADB 的面積；(b) C 至平面 OADB 的距離。
OA × OB = (2·0 − (−1)·1)i − (6·0 − (−1)·2)j + (6·1 − 2·2)k = i − 2j + 2k= |OA × OB| = √(1 + 4 + 4) = 3n = i − 2j + 2k 上的投影長度OC · n = 5 + 2 + 4 = 11= |OC · n| / |n| = 11/3答案： (a) 3；(b) 11/3
由曲線 y = √(x sin x)（0 ≤ x ≤ π）及 x 軸所圍成的區域繞 x 軸旋轉。先求 ∫ x sin x dx，再求該旋轉體的體積。
u = x、dv = sin x dx：∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + CV = π∫₀^π y² dx = π∫₀^π x sin x dxV = π[−x cos x + sin x]₀^π = π[(π + 0) − 0]答案： V = π²
請先自行在紙上嘗試每一題，然後觀看動畫：每段影片都是該題的真實 GeoGebra 作圖，讓你在閱讀步驟之前先看到答案為何如此。點擊影片可在 SketchMath 開啟同一圖像，自行拖動或旋轉。想重溫相關理論，可參閱 DSE M2 筆記；其他年份見全部 M2 歷屆試題詳解。
每題均以我們自己的文字轉述，數據與 2012 年香港中學文憑考試數學延伸部分單元二試卷相同；題解及動畫由 SketchMath 編寫。