二階導數有甚麼用？

它表示斜率的變化。二階導數為正即斜率遞增，曲線向上彎；為負則曲線向下彎。

DSE M1 包括三階導數嗎？

不包括。三階或以上的導數，以及隱函數的二階導數，均不在要求之內。

畫一條切線。若曲線在切線之上，是向上凹；若在切線之下，是向下凹。

二階導數 f″(x)（亦寫作 y″ 或 d²y/dx²）是 f′(x) 的導數。當 f″(x) > 0，曲線向上凹；當 f″(x) < 0，曲線向下凹。

例題 1 的 f(x) = x³ − 3x²。當 x < 1，切線在曲線之上（向下凹）；當 x > 1，切線在曲線之下（向上凹）。自己試試 →

記法f″(x), y″, d²y/dx²

向上凹f″(x) > 0

向下凹f″(x) < 0

二階導數判別法在 f′ = 0 處：f″ > 0 為極小，f″ < 0 為極大

設 f(x) = x³ − 3x²。求 f″(x)，並判斷圖像在哪個範圍向上凹、哪個範圍向下凹。

答案： f″(x) = 6x − 6；x < 1 時向下凹，x > 1 時向上凹

若 y = x e⁻ˣ，求 d²y/dx²。

答案： d²y/dx² = (x − 2)e⁻ˣ

⚠️ d²y/dx² 不等於 (dy/dx)²二階導數的意思是「再求導一次」，而不是「把一階導數平方」。對 y = x³，d²y/dx² = 6x，但 (dy/dx)² = 9x⁴。

⚠️ 凹性決定梯形法則的偏差f″ 的正負號正是用來說明梯形法則的估值偏高（向上凹）還是偏低（向下凹）的理據。

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(凹性)求 y = x⁴ − 6x² 的二階導數，以及曲線向上凹的範圍。

(二階導數)求 y = ln(x² + 1) 的 d²y/dx²。

(f″ 的正負號)證明 y = e^(2x) 對所有 x 都是向上凹。