例題 1：區間上的全局極大值
求 f(x) = x e⁻ˣ 在 0 ≤ x ≤ 3 的最大值。
f′(x) = (1 − x)e⁻ˣf′(x) = 0得x = 1，而f″(1) = −e⁻¹ < 0，所以是極大f(1) = 1/e ≈ 0.368- 端點：
f(0) = 0，f(3) = 3e⁻³ ≈ 0.149
答案： 最大值為 1/e，在 x = 1 取得。
求導法的應用（DSE M1）：極大極小值及變率
求極大或極小值時，先解 f′(x) = 0，再用一階或二階導數判別每個點的性質；若求區間上的全局極值，還須比較端點的函數值。變率就是對時間的導數。
求導法的應用：重點
駐點
f′(x) = 0二階導數判別法
f″ < 0：極大；f″ > 0：極小[a, b] 上的全局極值比較 f(a)、f(b) 及各駐點的函數值速度及加速度
v = ds/dt, a = dv/dt求導法的應用例題詳解
例題 2：變率
某群落在 t 天後的數目為 N = 500e⁰·²ᵗ。求 t = 5 時數目的增長率。
dN/dt = 500 × 0.2 × e⁰·²ᵗ = 100e⁰·²ᵗ- 當
t = 5：dN/dt = 100e¹ ≈ 271.8
答案： 每天約 272
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 要檢查端點在閉區間上，最大或最小值可能出現在導數不為零的端點。完整的答案須把駐點的函數值與
f(a)、f(b) 作比較。⚠️ 要說明是極大還是極小解
f′(x) = 0 只找出可能的點。須寫明 f″ 的正負號，或 f′ 的變號情況，才可取得結論的分數。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(全局極值)求 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 在 0 ≤ x ≤ 5 的最大值及最小值。
(速度及加速度)某質點的位移為 s = t³ − 6t² + 9t。求它靜止的時刻及當時的加速度。
(最優化)利潤為 P = 40x − x² − 100（千元）。求使利潤最大的產量 x。
常見問題
局部極大值是鄰近範圍內的最高點。全局極大值是整個區間上的最大值，可能是局部極大值，也可能在端點。
M1 的學習重點是運用求導法處理切線、變率及極大極小值。描繪有漸近線的有理函數曲線屬於 M2 的學習重點。
位移、速度及加速度。其他學科的詞彙則應在題目中給出定義。