例題 1：端點陷阱
求 f(x) = x e⁻ˣ 在 0 ≤ x ≤ 3 的最大值及最小值。
f′(x) = (1 − x)e⁻ˣ = 0得x = 1f(1) = 1/e ≈ 0.368- 端點：
f(0) = 0，f(3) = 3e⁻³ ≈ 0.149 - 比較三個函數值
答案： 最大值 1/e（x = 1）；最小值 0（x = 0）
DSE M1 常見錯誤及避免方法
M1 的失分大多來自幾項常見的疏忽，而非艱深的數學。微積分方面：端點、內層函數的導數、+ C，以及代換後的上下限。統計方面：條件概率的方向、與題目區間相符的泊松平均值、分佈表給出的是 0 至 z 的面積，以及樣本平均值要用 σ/√n。
十秒檢查
最大／最小值有沒有比較端點？
鏈式法則有沒有乘以內層函數的導數？
不定積分有沒有
+ C？代換法上下限有沒有換成 u 的值？
條件概率是
P(A | B) 還是 P(B | A)？泊松分佈λ 是否與題目的區間相符？
正態分佈表分佈表給出的是 0 至 z 的面積
樣本平均值標準差是
σ/√n微積分的常見錯誤
- 只做到駐點便停。求
a ≤ x ≤ b上的最大或最小值時，答案可能在端點。對f(x) = x e⁻ˣ（0 ≤ x ≤ 3），最大值在駐點x = 1，但最小值 0 卻在端點x = 0。 - 漏掉內層函數的導數。
(e³ˣ)′ = 3e³ˣ，(ln(3x + 1))′ = 3/(3x + 1)。 - 應該除卻變成乘。
∫ e⁰·³ᵗ dt = e⁰·³ᵗ/0.3。把答案求導一次便可核對。 - 漏寫
+ C，結果沒有常數可由初始條件確定。 - 換成 u 後仍用 x 的上下限。
- 沒有求
d²y/dx²便斷言高估或低估。分數是給二階導數的正負號的。
統計的常見錯誤
- 把條件概率的方向弄反。「已知該產品有缺陷，求它來自機器 B 的概率」是
P(B | D)，須用貝葉斯定理，而不是題目所給的P(D | B)。 - 忘記用補事件。
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)只需一項；逐項相加P(1) + P(2) + …既慢又易錯。 - 泊松平均值取錯。若平均率為每小時 2.5，而題目問的是 2 小時，則
λ = 5。 - 查錯正態分佈表。M1 的分佈表給出
A(z) = P(0 ≤ Z ≤ z)，所以P(Z > 1.96) = 0.5 − 0.4750，而不是1 − 0.4750。 - 樣本平均值誤用 σ。n 個觀察值的平均值，其標準差為
σ/√n。 - 過早取近似值。概率應保留四位小數，到最後一行才取近似。
M1 常見錯誤例題詳解
例題 2：正確查閱正態分佈表
已知 A(1.96) = 0.4750，求 P(Z > 1.96) 及 P(Z < 1.96)。
A(z)是 0 至 z 的面積；曲線左右兩半的面積各為 0.5P(Z > 1.96) = 0.5 − 0.4750 = 0.0250P(Z < 1.96) = 0.5 + 0.4750 = 0.9750
答案： 0.0250, 0.9750
常見問題
求最大或最小值時沒有檢查端點、漏掉鏈式法則的因子、忘記 + C、代換後沒有轉換上下限、把條件概率的方向弄反、泊松平均值與區間不符，以及查錯正態分佈表。
把積分結果求導，看看是否得回被積函數；檢查概率是否在 0 與 1 之間、分佈的概率總和是否等於 1；並畫出正態曲線，判斷答案應大於還是小於 0.5。
不是。它給出的是 A(z)，即 0 與 z 之間的面積。若要求正數 z 左邊的面積，須加上 0.5。