貝葉斯定理簡單來說是甚麼？

它用來求「已觀察到結果」的情況下某個原因的概率。沿樹形圖中每條通往該結果的分支相乘，再把所需分支除以所有這類分支的總和。

一定要畫樹形圖嗎？

並非硬性規定，但課程說明建議在結果數目有限的問題中使用，而且它能把所需的概率一目了然地列出。

是。若 A 與 B 獨立，則 A′ 與 B、A 與 B′、A′ 與 B′ 亦各自獨立。M1 要求認識這一點。

在 B 已發生的條件下，A 的條件概率是 P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)。貝葉斯定理把條件倒轉：P(B | D) = P(B)P(D | B) / P(D)，其中 P(D) 是樹形圖中所有以 D 結束的分支的概率總和。

條件概率P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

乘法定律P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)

全概率P(D) = P(A)P(D | A) + P(B)P(D | B)

貝葉斯定理P(B | D) = P(B)P(D | B) / [P(A)P(D | A) + P(B)P(D | B)]

獨立事件P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⟺ P(A | B) = P(A)

某工廠有甲、乙兩部機器，分別生產 60% 及 40% 的產品。甲機的次品率為 2%，乙機的次品率為 5%。隨機抽出一件產品，發現是次品。求它由乙機生產的概率。

答案： 0.625

已知 P(A) = 0.5、P(B) = 0.4 及 P(A ∪ B) = 0.7，判別 A 與 B 是否獨立。

答案： 獨立，因為 P(A ∩ B) = P(A)P(B)。

⚠️ P(B | D) 不等於 P(D | B)在例題 1 中，P(D | B) = 0.05，但 P(B | D) = 0.625。要看清楚哪個事件是已知發生的：它寫在豎線之後，並放在分母。

⚠️ 獨立不等於互斥互斥事件不能同時發生，所以 P(A ∩ B) = 0。獨立事件則可以同時發生，只是其中一個不影響另一個的概率。

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(貝葉斯定理)某測試檢出疾病的概率為 0.95，誤報陽性的概率為 0.02，而 1% 的人患有該病。求測試呈陽性的人確實患病的概率。

(樹形圖)X 袋有 3 個紅球及 2 個藍球，Y 袋有 1 個紅球及 4 個藍球。隨機選一個袋並抽出一個紅球，求它來自 X 袋的概率。

(獨立事件)若 A、B 獨立，P(A) = 0.3 及 P(B) = 0.6，求 P(A ∪ B) 及 P(A′ ∩ B)。