甚麼是中心極限定理？

不論總體的分佈形狀如何，當樣本容量增大時，樣本平均值的分佈會趨向正態分佈。在 M1 中，它讓你在 n 足夠大時把樣本平均值視為服從正態分佈。

為甚麼樣本方差要除以 n − 1？

因為這樣才是無偏估計量：在大量樣本中，它的平均值等於總體方差。除以 n 所得的數值平均而言會偏小。

參數描述整個總體（μ、σ²），通常是未知的。統計量由樣本計算所得（x̄、s²），用來估計參數。

若從平均值為 μ、方差為 σ² 的總體抽取容量為 n 的樣本，則樣本平均值的 E(X̄) = μ、Var(X̄) = σ²/n。若總體服從正態分佈，則 X̄ ~ N(μ, σ²/n)；根據中心極限定理，當 n 足夠大時，這對任何總體都近似成立。

灰色曲線是總體 N(50, 8²)。紅色曲線是樣本平均值的分佈，隨 n 增大而收窄；當 n = 16，其標準差為例題 1 的 2。自己試試 →

樣本平均值的平均值E(X̄) = μ

樣本平均值的方差Var(X̄) = σ² / n

分佈X̄ ~ N(μ, σ²/n)

樣本平均值的標準化Z = (X̄ − μ) / (σ/√n)

μ 的無偏估計x̄ = Σx / n

σ² 的無偏估計s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)

某總體服從平均值 50、標準差 8 的正態分佈。從中抽取容量為 16 的隨機樣本，求樣本平均值大於 53 的概率。

答案： 0.0668

某隨機樣本的數值為 4、6、7、9、9。求總體平均值及方差的無偏估計。

答案： x̄ = 7, s² = 4.5

⚠️ 樣本平均值要除以 √n單一數值用 σ；n 個數值的平均值則用 σ/√n。漏了 √n 是本單位最典型的錯誤。

⚠️ 樣本方差除以 n − 1總體方差的無偏估計須除以 n − 1。除以 n 所得的只是樣本本身的方差，會低估 σ²。

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(樣本平均值)某總體的平均值為 120，標準差為 15。求容量為 25 的樣本平均值小於 114 的概率。

(點估計)由樣本 12、15、11、18、14 求總體平均值及方差的無偏估計。

(n 的影響)對總體 N(50, 8²)，說明當 n 由 4 增至 36 時樣本平均值的分佈如何改變。