例題 1：95% 及 99% 置信區間
從標準差為 8 的總體中抽取容量為 64 的隨機樣本，其平均值為 52。求總體平均值的 95% 及 99% 置信區間。
σ/√n = 8/√64 = 1- 95%：
52 ± 1.96 × 1，即(50.04, 53.96) - 99%：
52 ± 2.575 × 1，即(49.425, 54.575)
答案： 95%：(50.04, 53.96)；99%：(49.425, 54.575)
總體平均值的置信區間（DSE M1）
總體平均值的置信區間是 x̄ ± z · σ/√n，其中 95% 取 z = 1.96，99% 取 z = 2.575。區間的闊度為 2z · σ/√n：樣本愈大，區間愈窄；置信水平愈高，區間愈闊。
置信區間公式
95% 置信區間
(x̄ − 1.96σ/√n, x̄ + 1.96σ/√n)99% 置信區間
(x̄ − 2.575σ/√n, x̄ + 2.575σ/√n)闊度
2z · σ/√nσ 未知而樣本大當
n ≥ 30，以 s 代替 σ這些公式在甚麼情況下適用？
- 正態總體，方差已知：任何樣本容量均適用。
- 非正態總體，方差已知：須為大樣本（
n ≥ 30），依據中心極限定理。 - 非正態總體，方差未知：須為大樣本（
n ≥ 30），並以樣本標準差 s 代替σ。
95% 置信區間並不代表總體平均值有 95% 的機會落在這個特定的區間內。它的意思是：若以同樣方法由大量樣本建立區間，當中約有 95% 會包含總體平均值。
總體平均值的置信區間例題詳解
例題 2：按指定闊度求樣本容量
對同一總體（σ = 8），求最小的樣本容量，使 95% 置信區間的闊度不超過 2。
2 × 1.96 × 8/√n ≤ 2√n ≥ 15.68n ≥ 245.86
答案： 最小的樣本容量為 246。
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 樣本容量要向上取整
n ≥ 245.86 即 n = 246。若向下取整為 245，區間會稍為超出允許的闊度。⚠️ 闊度是誤差範圍的兩倍區間為
x̄ ± z·σ/√n，所以全闊度是 2z·σ/√n。題目問「闊度」時須乘以 2。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(99% 置信區間)容量為 100 的樣本平均值為 73.2，而總體標準差為 6。求總體平均值的 99% 置信區間。
(σ 未知)容量為 50 的樣本平均值為 12.4，樣本標準差為 2.1。求總體平均值的 95% 置信區間。
(樣本容量)若 σ = 5，樣本容量最少要多大，才能使 99% 置信區間的闊度不超過 1.5？
常見問題
95% 用 1.96，99% 用 2.575。它們來自標準正態分佈表：A(1.96) = 0.4750，A(2.575) ≈ 0.4950。
增加樣本容量，或降低置信水平。一般而言，區間窄與置信水平高難以兼得。
現行的學習單位只包括總體平均值的置信區間。