DSE M1 包括分部積分法嗎？

不包括。課程說明訂明 M1 不要求用分部積分法求不定積分，唯一的技巧是代換法。

代換時應怎樣選 u？

留意是否有內層函數的導數同時以因式形式出現，例如 x² + 1 與 x 一起出現。把內層函數設為 u。

因為 ln x 只在 x 為正數時有定義，而 1/x 在 x 為負數時亦存在。寫成 ln|x| 便涵蓋兩種情況。

不定積分是求導的逆運算：∫ f(x) dx = F(x) + C。M1 要求掌握 xⁿ、1/x 及 eˣ 的公式，以及一種技巧：代換積分法。分部積分法不屬於 M1。

例題 1 的曲線族 P = 20e⁰·³ᵗ + C。C 改變時曲線上下移動；只有 C = 30 的一條由 P(0) = 50 出發。自己試試 →

常數∫ k dx = kx + C

冪函數∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1)

倒數∫ (1/x) dx = ln|x| + C

指數函數∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ e^kx dx = e^kx/k + C

代換法設 u = g(x)，du = g′(x) dx

某數量 P 的增長率為 dP/dt = 6e⁰·³ᵗ，且 t = 0 時 P = 50。試以 t 表示 P。

答案： P = 20e⁰·³ᵗ + 30

求 ∫ x√(x² + 1) dx。

答案： (1/3)(x² + 1)^3/2 + C

⚠️ 漏寫 + C每個不定積分都要加 + C。在應用題中，初始條件正是用來求這個常數的，漏了它便會失去其後的分數。

⚠️ 要除以 x 的係數∫ e⁰·³ᵗ dt = e⁰·³ᵗ / 0.3，而不是 0.3e⁰·³ᵗ。積分是除以內層的係數，求導才是乘以它。

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(基本公式)求 ∫ (3x² + 1/x) dx。

(代換法)求 ∫ 2x e^(x²) dx。

(求積分常數)某曲線的斜率為 dy/dx = 4x − 3，並通過 (2, 5)。求該曲線的方程。