例題 1：指數曲線下的面積
求由 y = ex/2、x 軸及直線 x = 0、x = 3 所圍成的面積。
∫03 ex/2 dx = [2ex/2]03= 2e1.5 − 2≈ 6.963
答案： 2(e1.5 − 1) ≈ 6.963 平方單位
定積分法及曲線下的面積（DSE M1）
定積分是曲線下多個長方形面積之和的極限，計算方法為 ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)。在 M1 中，它用來求 y = f(x)、x 軸及直線 x = a、x = b 所圍成的面積。
定積分的性質
微積分基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)上下限互換
∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx分割區間
∫ac = ∫ab + ∫bc面積
∫ab f(x) dx，其中 f(x) ≥ 0定積分法及面積例題詳解
例題 2：代換並轉換上下限
計算 ∫01 x(x² + 1)³ dx。
- 設
u = x² + 1，du = 2x dx - 上下限：
x = 0 → u = 1，x = 1 → u = 2 ∫12 ½u³ du = [u⁴/8]12 = 16/8 − 1/8= 15/8
答案： 15/8
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 變數換了，上下限也要換設
u = g(x) 後，上下限變為 g(a) 及 g(b)。課程說明明確要求這一點；以 u 積分卻用 x 的上下限是錯誤的。⚠️ M1 的面積不包括甚麼曲線與 y 軸之間的面積，以及兩條曲線之間的面積，並不在 M1 的要求之內。旋轉體體積屬於 M2。
✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(面積)求 y = 3x² + 2 由 x = 1 至 x = 3 之下的面積並塗上陰影。
(代換並轉換上下限)計算 ∫ 2x e^(x²) dx（由 0 至 1）。
(直線運動)某質點的速度為 v = 6e^(−0.5t)。求由 t = 0 至 t = 4 所走的距離。
常見問題
它把兩類積分聯繫起來：f 由 a 至 b 的定積分等於 F(b) − F(a)，其中 F 是任何導數為 f 的函數。
不包括。M1 只涵蓋曲線、x 軸及兩條垂直線所圍成的面積。
定積分內所用的字母並不影響積分值：f(x) dx 由 a 至 b 的積分，等於 f(t) dt 由 a 至 b 的積分。